На рисунке <DCE= 60°. Найдите <BAC, если CE- биссектриса <BCD. (Задание необходимо выполнить в тетради, чертеж чертить не надо. Необходимо записать дано и выполнить подробное решение, каждый шаг должен быть обоснован и подтвержден свойством, признаком или теоремой.
Пусть дан равносторонний треугольник АВС, с высотой АН и сторонами а. В него вписана окружность с центром в точке О и радиусом R.Найдем высоту треугольника.
Высота АН равностороннего треугольника,она же медиана и биссектриса. А значит по свойству медианы ВН=НС=ВС/2=а/2, по свойству высоты <AHB=<AHC=90°.
Рассмотрим треугольник АНС, он прямоугольный <H=90°, с гипотенузой а, и катетами НС=а/2, и АН.
Найдем катет АН треугольника по теореме Пифагора:
АН=√(АС²-НС²)=√(а²+а²/4).
Радиус окружности вписанной в треугольник:
R=√((p-AC)(p-CB)(p-AB)/p).
Найдем полу периметр:
p=(1/2)(AC+CB+AB)=(1/2)(а+а+а)=3а/2 см.
Подсчитаем радиус:
R=√((p-AC)(p-CB)(p-AB)/p=√((3а/2-а)(3а/2-а)(3а/2-а)/(3а/2))= а/√12 см.
Выразим из этого выражения а:
а=R√12.
Подставим в выражение для определения высоты:
АН=√(а²+а²/4)=√((R√12)²+(R√12/2)²)=√(9*R²)=√(9*64)=24 см.
1) Дано: ABCD - трапеция,∠А=90°, ∠С-∠В=48°. Найти: ∠D, ∠С, ∠В Решение: 1.Рассмотрим трапецию АВСD. ВА∫∫CD(по опр. трапеции) ⇒ сумма односторонних углов равна 180°(по св-ву парал. прям. и сек.). Пусть секущей будет DA, тогда ∠А+∠D=180° ⇒ ∠D=180°-90°=90°. Возьмем СВ как секущую, тогда ∠С+∠В=180°(по св-ву). 2. Получим систему: ∠С+∠В=180° ∠С-∠В=48° Такое возможно, только если один из углов равен 114, а второй 66. (Найти можно методом подбора). Тогда ∠С=114°(т.к.он тупой), а ∠В=66°(т.к.он острый). ответ: 90°, 114°, 66° 2) Дано: ABCD - прямоугл., ∠АВО=36° Найти: ∠АОD Решение:1.Рассмотрим BD и АС. Они пересекаются в точке О, при этом делятся пополам(по св-ву параллелогр.). Также диагонали равны(по св-ву прямоуг.)⇒ВO=ОА. 2.Рассмотрим ΔВОА: ВО=ОА ⇒ ΔВОА - равнобедр.(по опр.) ⇒ ∠ОВА=∠ВАО=36°(по св-ву равноб. Δ). По теореме о сумме углов треугольника найдем ∠ВОА: 180-36-36=108°. 3. ∠ВОА смежен с ∠АОD. То есть их сумма равна 180(по св-ву) ⇒ ∠AOD=180-108=72° ответ: 72°
Объяснение:
Пусть дан равносторонний треугольник АВС, с высотой АН и сторонами а. В него вписана окружность с центром в точке О и радиусом R.Найдем высоту треугольника.
Высота АН равностороннего треугольника,она же медиана и биссектриса. А значит по свойству медианы ВН=НС=ВС/2=а/2, по свойству высоты <AHB=<AHC=90°.
Рассмотрим треугольник АНС, он прямоугольный <H=90°, с гипотенузой а, и катетами НС=а/2, и АН.
Найдем катет АН треугольника по теореме Пифагора:
АН=√(АС²-НС²)=√(а²+а²/4).
Радиус окружности вписанной в треугольник:
R=√((p-AC)(p-CB)(p-AB)/p).
Найдем полу периметр:
p=(1/2)(AC+CB+AB)=(1/2)(а+а+а)=3а/2 см.
Подсчитаем радиус:
R=√((p-AC)(p-CB)(p-AB)/p=√((3а/2-а)(3а/2-а)(3а/2-а)/(3а/2))= а/√12 см.
Выразим из этого выражения а:
а=R√12.
Подставим в выражение для определения высоты:
АН=√(а²+а²/4)=√((R√12)²+(R√12/2)²)=√(9*R²)=√(9*64)=24 см.
ответ: АН = 24 см.
Найти: ∠D, ∠С, ∠В
Решение: 1.Рассмотрим трапецию АВСD. ВА∫∫CD(по опр. трапеции) ⇒ сумма односторонних углов равна 180°(по св-ву парал. прям. и сек.). Пусть секущей будет DA, тогда ∠А+∠D=180° ⇒ ∠D=180°-90°=90°. Возьмем СВ как секущую, тогда ∠С+∠В=180°(по св-ву).
2. Получим систему:
∠С+∠В=180°
∠С-∠В=48°
Такое возможно, только если один из углов равен 114, а второй 66. (Найти можно методом подбора). Тогда ∠С=114°(т.к.он тупой), а ∠В=66°(т.к.он острый).
ответ: 90°, 114°, 66°
2) Дано: ABCD - прямоугл., ∠АВО=36°
Найти: ∠АОD
Решение:1.Рассмотрим BD и АС. Они пересекаются в точке О, при этом делятся пополам(по св-ву параллелогр.). Также диагонали равны(по св-ву прямоуг.)⇒ВO=ОА.
2.Рассмотрим ΔВОА: ВО=ОА ⇒ ΔВОА - равнобедр.(по опр.) ⇒ ∠ОВА=∠ВАО=36°(по св-ву равноб. Δ). По теореме о сумме углов треугольника найдем ∠ВОА: 180-36-36=108°.
3. ∠ВОА смежен с ∠АОD. То есть их сумма равна 180(по св-ву) ⇒ ∠AOD=180-108=72°
ответ: 72°