Из точки SS опущен перпендикуляр SBSB к плоскости прямоугольного треугольника ABCABC . Наклонные SASA и SCSC образуют с плоскостью (ABC)(ABC) углы 30{\degree}30° и 45{\degree}45° соответственно. Найди тангенс угла между прямой SASA и плоскостью (SBC)(SBC) , если SB=5SB=5 .
Решение очень простое - вся "хитрость" в том, что угол О1АО2 (между пунктирными прямыми) равен 90 градусам. Дело в том, что О1А и О2А - биссеткриссы смежных углов (почему биссектрисы, - это понятно? обоснуйте), а сумма смежных углов 180 градусов. Ну, сумма половин смежных углов (то есть сумма угла О1АВ и угла О2АВ) дает 90.
Таким образом, трегольник О1АО2 - прямоугольный, и АВ - высота к гипотенузе.
Дальше - очень полезное "заклинание" - хотя и очень простое.
Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, подобные ему - и между собой тоже, конечно.
Треугольник, образованный медианой, высотой и отрезком основания между ними - это прямоугольный треугольник с катетом 12 и гипотенузой 13, то есть отрезок между концами высоты и медианы равен 5.
(5,12,13 - Пифагорова тройка)
Если обозначить ПРОЕКЦИЮ меньшей боковой стороны на основание за х, то половина основания равна х + 5. То есть х = 25.
Проекция большей стороны на основание, таким образом, равна 60 - 25 = 35.
Сама сторона находится по теореме Пифагора и равна √(35^2 + 12^2) = 37
(и тут Пифагорова тройка 12,35,37)
Жаль, что длина третьей стороны не выражается целым числом - √(25^2 + 12^2) = √769;
769 - простое число, поэтому упростить это уже нельзя. К счастью, в задаче нужно найти только большую боковую сторону.
НАБИРАТЬ УСЛОВИЕ АККУРАТНО - чтобы не приходилось догадываться, какое оно :)
вот вам рисунок
Решение очень простое - вся "хитрость" в том, что угол О1АО2 (между пунктирными прямыми) равен 90 градусам. Дело в том, что О1А и О2А - биссеткриссы смежных углов (почему биссектрисы, - это понятно? обоснуйте), а сумма смежных углов 180 градусов. Ну, сумма половин смежных углов (то есть сумма угла О1АВ и угла О2АВ) дает 90.
Таким образом, трегольник О1АО2 - прямоугольный, и АВ - высота к гипотенузе.
Дальше - очень полезное "заклинание" - хотя и очень простое.
Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, подобные ему - и между собой тоже, конечно.
Поэтому
О1B/АВ = АВ/О2В;
О1B = АВ^2/O2B = 6^2/4 = 9;
Треугольник, образованный медианой, высотой и отрезком основания между ними - это прямоугольный треугольник с катетом 12 и гипотенузой 13, то есть отрезок между концами высоты и медианы равен 5.
(5,12,13 - Пифагорова тройка)
Если обозначить ПРОЕКЦИЮ меньшей боковой стороны на основание за х, то половина основания равна х + 5. То есть х = 25.
Проекция большей стороны на основание, таким образом, равна 60 - 25 = 35.
Сама сторона находится по теореме Пифагора и равна √(35^2 + 12^2) = 37
(и тут Пифагорова тройка 12,35,37)
Жаль, что длина третьей стороны не выражается целым числом - √(25^2 + 12^2) = √769;
769 - простое число, поэтому упростить это уже нельзя. К счастью, в задаче нужно найти только большую боковую сторону.
НАБИРАТЬ УСЛОВИЕ АККУРАТНО - чтобы не приходилось догадываться, какое оно :)