Контрольна робота з геометрії Варіант 1
1. Знайдіть:
1) внутрішній і центральний кут правильного 10-
кутника;
2) кількість сторін правильного многокутника,
якщо його зовнішній кут дорівнює 15°.

Теорема синусов: в треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла - величина постоянная.
a : sin α = b : sin β
sinβ = b · sin α / a
По найденному синусу угла по таблице находим угол.

1) a = 3 м , b = 5 м , α = 30 °
sin β = 5 · sin 30° / 3 = 5 · 1/2 / 3 = 5/6 ≈ 0,8333
β ≈ 56°

2) a = 8 м , b = 7 м , α = 60°
sin β = 7 · sin 60° / 8 = 7 · √3/2 /8 = 7√3/16 ≈ 0,7578
β ≈ 49°

3) a = 2√2 см , b = 3 см , α = 45°
sin β = 3 · sin 45° / (2√2) = 3 · √2/2 / (2√2) = 3/4 = 0,75
β ≈ 49°

4) a = 6 см , b = 2√3 см , α = 120°
sin β  = 2√3 · sin 120° / 6 = √3 · (√3/2) / 3 = 3 / 6 = 1/2 = 0,5
β = 30°

Очевидно маленьккий круг вписан в в "лунку", т.е. касается большого круга внешним образом. Радиус большого круга равен половине стороны квадрата, т.е. равен 1.Проведем общую касательную у обеим окружностям. Она отсекает прямоугольный равнобедренный треугольник, в который вписан маленький круг.   Маленький круг вписан в треугольник равнобедренный, прямоугольный , с высотой sqrt(2)-1.
Его стороны : 2-sqrt(2), 2-sqrt(2),2(sqrt(2)-1). Половина периметра:
2-sqrt(2)+sqrt(2)-1=1
Произведение  радиуса вписанной окружности на половину периметра треугольника равно площади треугольника. Поэтому:
Радиус вписанного круга  r*1=(2-sqrt(2))^2/2
r= 2-2sqrt(2)+1=3-2*sqrt(2)
r*r=9-12*sqrt(2)+8=17-12*sqrt(2)
Площадь маленького круга : pi*(17-12*sqrt(2))
Примерно; 0,0925
Примечание: sqrt - квадратный корень.