КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА No 3 ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ»
Рис. 1
А
B
Вариант 1
1. На рисунке 1 АВ || CD.
а) Докажите, что АО: ОС = ВО : OD.
б) Найдите AB, если OD = 15 см, OB = 9 см, CD = 25 см.
D
с
2. Найдите отношение площадей треугольников ABC и KMN, если AB = 8
см, вс = 12 см, AC = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см, NK = 20 см.
3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в
точках МиК соответственно так, что МК || АC, BM:AM=1:4. Найдите
периметр треугольника ВМК? Найдите периметр треугольника BMK, если
периметр треугольника ABC равен 25 см.
4. *В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в
точке 0, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если
площадь треугольника AOD равна 45 см2.​

Решение:
1.
Площадь квадрата:
S=a²          S=7²=49(см²)
2.
Площадь прямоугольника:
S=a*b      S=3*14=42 (дм²)
3.
S=a²    8=a²   a=√8=√(4*2)=2√2) (см)
4.
Обозначим одну сторону прямоугольника  за (х), тогда вторая сторона равна: 5*х=5х
S=a*b     
12500=x*5x
5x²=12500
x²=12500:5
х²=2500
х=√2500=50(м)- ширина прямоугольника
5*х=5*50=250(м) -длина прямоугольника
Р=2*(a+b)   Р=2*(50+250)=2*300=600(м)
5.
Площадь прямоугольника равна S=a*b 
S=3,4*4,8=16,32 (м²)
Площадь кафельной плитки:
S=a²
а=20см=0,2м   S=0,2²=0,04 (м²)
Количество кафельных плиток для, необходимых для облицовки:
16,32 : 0,04=408 (плиток)
   

Пусть угол BAC = α

∠ABC + ∠ACB = 180° - α

∠IBC + ∠ICB = (180° - α)/2 = 90° - α/2 (т.к. центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис)

∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 180° - 90° + α/2 = 90° + α/2

∠BKC = 180° - ∠BIC = 180° - 90° - α/2 = 90° - α/2 (сумма противоположных углов четырехугольника вписанного в окружность равна 180°)

∠BOC - центральный углу ∠BKC => ∠BOC = 2*∠BKC = 2*(90° - α/2) = 180° - α

т.к. ∠BAC + ∠BOC = α + 180° - α = 180°, то около ABOC можно описать окружность, но это та же окружность, которая описана около треугольника АВС и на ней лежит точка О. Что и требовалось доказать

ответ: доказано.