Найдём сначала гипотенузу данного прямоугольного треугольника. Пусть катеты равны a и b, гипотенуза равна c, радиус вписанной окружности равен r, радиус описанной - R, расстояние между центрами окружностей равно d. По теореме Пифагора: Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (гипотенуза является диаметром этой окружности). Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле: . Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями находятся по формуле Эйлера:
Пусть HPE - прямоугольный треугольник с катетами HP и HE, гипотенузой PE. LE - биссектриса угла E
В прямоугольном треугольнике LHE: LH и HE - катеты, LE - гипотенуза. По условию гипотенуза LE в 2 раза больше катета LH ⇒ угол LEH= 30° т.к. катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
Угол PEL равен 30°, т.к. биссектриса LE делит угол PEH пополам ⇒ ⇒ угол PEH = 30 + 30 = 60° ⇒ угол EPH = 180 - 90 - 60 = 30° ⇒ треугольник PLE - равнобедренный с основанием PE, углами при основании равными 30° каждый ⇒ PL = LE как боковые стороны равнобедренного треугольника.
Пусть LE = Х, тогда PL = Х LH = X / 2 HP = X + 8 (по условию) HP = PL + LH = X + X/2
x + x/2 = x + 8 x - x + x/2 = 8 x/2 = 8 x = 8 * 2 x = 16
Пусть катеты равны a и b, гипотенуза равна c, радиус вписанной окружности равен r, радиус описанной - R, расстояние между центрами окружностей равно d.
По теореме Пифагора:
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (гипотенуза является диаметром этой окружности).
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле:
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями находятся по формуле Эйлера:
В прямоугольном треугольнике LHE: LH и HE - катеты, LE - гипотенуза.
По условию гипотенуза LE в 2 раза больше катета LH ⇒ угол LEH= 30° т.к. катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
Угол PEL равен 30°, т.к. биссектриса LE делит угол PEH пополам ⇒
⇒ угол PEH = 30 + 30 = 60° ⇒ угол EPH = 180 - 90 - 60 = 30° ⇒ треугольник PLE - равнобедренный с основанием PE, углами при основании равными 30° каждый ⇒ PL = LE как боковые стороны равнобедренного треугольника.
Пусть LE = Х, тогда
PL = Х
LH = X / 2
HP = X + 8 (по условию)
HP = PL + LH = X + X/2
x + x/2 = x + 8
x - x + x/2 = 8
x/2 = 8
x = 8 * 2
x = 16
LE = 16 (cм)
HP = 16 + 8 = 24 (см)
ответ: 24 cм