1.В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12 см и углом 60 градусов. Меньшая диагональ параллелепипеда 13 см. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.
ΔABD равносторонний, т.к. AB = AD и угол А 60°. ⇒ BD = 12 см. ΔBB₁D: ∠B = 90°, по теореме Пифагора BB₁ = √(B₁D² - BD²) = √(169 - 144) = 5 см Sполн = Sбок + 2Sосн = Pосн·BB₁ + 2·AB·AD·sin60° Sполн = 48 · 5 + 2·144·√3/2 = 240 + 144√3 см²
2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6, а угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а боковое ребро 13 см .Найдите высоту пирамиды.
Основание такой пирамиды квадрат. Его диагональ АС = АВ√2 = 10√2 см, ОС = АС/2 = 5√2 см. ΔSOC: ∠O = 90°, по теореме Пифагора SO = √(SC² - OC²) = √(169 - 50) = √119 см
4. Высота прямой призмы равна 10 см, а основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см .Найдите площадь диагонального сечения.
5. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при ребре основания равен 30°, а радиус окружности, описанной около основания равен √2.
SO - высота пирамиды, ОА = √2 - радиус окружности, описанной около основания. ∠SHO = 30°. OA = AB√3/3 ⇒ AB = 3·OA/√3 = √6 Sосн = AB²√3/4 = 6·√3/4 = 3√3/2 OH = OA/2 = √6/2, (медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1) ΔSOH: ∠O = 90° SH = OH/cos30° = √6/2 / (√3/2) = √2 Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 ·3√6 ·√2 = 3√3 Sполн = Sбок + Sосн = 3√3 + 3√3/2 = 9√3/2
Как это ни удивительно - доказательство есть уже в самой формулировке теоремы.
Поскольку радиус перпендикулярен прямой, то его конец - это ближайшая от центра окружности точка на прямой. Все остальные точки прямой находятся от центра на БОЛЬШЕМ расстоянии, поскольку наклонная всегда длинее перпендикуляра.
Поскольку точки ОКРУЖНОСТИ равноудалены от центра, то ВСЕ точки прямой, за исключением конца радиуса, лежат ЗА ПРЕДЕЛАМИ области, ограниченной окружностью (по-просту - дальше от центра).
Есть только одна общая точка - это конец радиуса. А это и есть касание, когда у окружности и прямой только одна общая точка. :)
ΔABD равносторонний, т.к. AB = AD и угол А 60°. ⇒ BD = 12 см.
ΔBB₁D: ∠B = 90°, по теореме Пифагора
BB₁ = √(B₁D² - BD²) = √(169 - 144) = 5 см
Sполн = Sбок + 2Sосн = Pосн·BB₁ + 2·AB·AD·sin60°
Sполн = 48 · 5 + 2·144·√3/2 = 240 + 144√3 см²
2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 6, а угол между апофемой и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
SO = 6 - высота. SH - апофема, ∠SHO = 60°
ΔSHO: ∠O = 90°
OH = SO·ctg60 = 6·√3/3 = 2√3
SH = SO/sin60° = 6/(√3/2) = 4√3
ОН - радиус окружности, вписанной в АВС, ОН = АВ√3/2
АВ = 2ОН/√3 = 4
Sосн = АВ²√3/4 = 16√3/4 = 4√3
Sбок = 1/2 Pосн·SH = 1/2·12·4√3 = 24√3
Sполн = Sосн +Sбок = 4√3 + 24√3 = 28√3
3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а боковое ребро 13 см .Найдите высоту пирамиды.
Основание такой пирамиды квадрат. Его диагональ АС = АВ√2 = 10√2 см, ОС = АС/2 = 5√2 см.
ΔSOC: ∠O = 90°, по теореме Пифагора
SO = √(SC² - OC²) = √(169 - 50) = √119 см
4. Высота прямой призмы равна 10 см, а основанием является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см .Найдите площадь диагонального сечения.
Диагонали прямоугольника равны.
ΔАВС: ∠АВС = 90°, по теореме Пифагора
АС = √(АВ² + ВС²) = √(64 + 36) = 10 cм
Диагональное сечение - прямоугольник.
Sacc₁a₁ = AC · CC₁ = 10·10 = 100 см²
5. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при ребре основания равен 30°, а радиус окружности, описанной около основания равен √2.
SO - высота пирамиды, ОА = √2 - радиус окружности, описанной около основания. ∠SHO = 30°.
OA = AB√3/3 ⇒ AB = 3·OA/√3 = √6
Sосн = AB²√3/4 = 6·√3/4 = 3√3/2
OH = OA/2 = √6/2, (медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1)
ΔSOH: ∠O = 90°
SH = OH/cos30° = √6/2 / (√3/2) = √2
Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 ·3√6 ·√2 = 3√3
Sполн = Sбок + Sосн = 3√3 + 3√3/2 = 9√3/2
Как это ни удивительно - доказательство есть уже в самой формулировке теоремы.
Поскольку радиус перпендикулярен прямой, то его конец - это ближайшая от центра окружности точка на прямой. Все остальные точки прямой находятся от центра на БОЛЬШЕМ расстоянии, поскольку наклонная всегда длинее перпендикуляра.
Поскольку точки ОКРУЖНОСТИ равноудалены от центра, то ВСЕ точки прямой, за исключением конца радиуса, лежат ЗА ПРЕДЕЛАМИ области, ограниченной окружностью (по-просту - дальше от центра).
Есть только одна общая точка - это конец радиуса. А это и есть касание, когда у окружности и прямой только одна общая точка. :)