На отрезке АС длиной 18 м отмечена точка В. Найдите длины отрезков АВ и ВС, если известно, что: а) АВ в два раза меньше ВС; б) АВ:ВС=2:4. а)

Дано:

АС=18 м-отрезок

ВÎАС

ВС=2АВ

Найти: АВ и ВС.

Решение.

1) Пусть АВ=х, то ВС=2х (по условию)

т.к. АВ+ВС=АС (по аксиоме измерения отрезков)

=> х+2х=18; новый знак обозначения: => - следовательно

3х=18;

х=18:3;

х=6 (м)-АВ;

2) ВС=2х=2·6=12 (м) (по обозначенному).

ответ: АВ=6 м, ВС=12 м.

б)

Дано:

АС=18 м-отрезок

ВÎАС

АВ:ВС=2:4

Найти: АВ и ВС.

Решение.

1) т.к. АВ:ВС=2:4 => АВ=2х, ВС=4х (по условию)

т.к. АВ+ВС=АС (по аксиоме измерения отрезков)

=> 2х+4х=18;

6х=18;

х=18:6;

х=3 (м) - коэффициент пропорциональности;

2) АВ=2х=2·3=6 (м), ВС=4х=4·3=12 (м).

ответ: АВ=6 м, ВС=12 м.​

См. Объяснение

Объяснение:

Все решения основаны на свойствах вписанного и центрального углов:

1) вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается;

2) центральный угол равен дуге, на которую опирается.

Верхние и нижние рисунки видны не полностью, поэтому рассмотрим те, которые видно.

Рис. 4

1) Вписанный ∠В = 40°. Это значит, что дуга, на которую он опирается (ADC), равна:

40 · 2 = 80°.

2) Вся окружность = 360°. Значит, дуга АВС, на которую опирается вписанный ∠х, равна:

360 - 80 = 280°.

3) Вписанный ∠х равен половине дуги АВС, на которую опирается:

∠х = 280 : 2 = 140°.

ответ: ∠х = 140°.

Рис. 5

Центральный ∠О равен дуге АВС, на которую опирается. Следовательно, дуга АВС = 110°, а вписанный угол х опирается на дугу:

360 - 110 = 250°, поэтому:

∠х = 250 : 2 = 125°.

ответ: ∠х = 125°.

Рис. 6 - аналогичен рис. 5.

∠х = 360 - 100·2 = 160°

ответ: ∠х = 160°.

Рис. 9

АОС - диаметр, делит окружность пополам, т.е. дуга ADBC = 180°.

1) ∠В = 35° - следовательно, дуга AD = 35 · 2 = 70°, а дуга DBC = 180 - 70 =110°.

2) ∠х = 1/2 дуги DBC = 110 : 2 = 55°.

ответ: ∠х = 55°.  

α - острый угол, если 0 < α < 90°;

α - прямой угол, если α = 90°;

α - тупой угол, если 90° < α < 180°.

Два угла называются смежными, если они имеют общею сторону, а другие стороны дополняют друг друга до прямой. Сумма смежных углов равна 180° т.к. они составляют развёрнутый угол.

Два угла называются вертикальными, если каждая сторона любого из них, является продолжением стороны другого. Вертикальные углы равны между собой.

Прямые перпендикулярны, если угол между ними 90°. При пересечении таких прямых образуются 4 угла по 90°.

Докажем от противного. AC⊥CD,  BD⊥CD. Пусть AC∩BD = M.

В треугольнике сумма внутренних углов равна 180°, поэтому в ΔMCD:

∠СMD = 180°-(∠MCD+∠MDC) = 180°-(90°+90°) = 180°-180° = 0, но угол в треугольнике от 0 до 180°, противоречие. Значит, AC║BD.

Смотри в приложении.