На прямой даны три точки a b c. на отрезке ab построен равносторонний треугольник abc1, на отрезке bcпостроен равносторонний треуголӣник bca1. точка m середина отрезка aa1,точка n середина отрезка cc1. доказать что треугольник bmn равносторонний.(точка b лежит между точками a и c; точки a1 и c1 расположены по одну сторону от прямой аb)

Треугольники АВА1 и СВС1 равные: 

угол АВА1=АВС-А1ВС=180-60=120 и угол СВС1=АВС-АВС1=180-60=120; АВ=ВС1 и А1В=ВС.

ВМ и ВN - это соответствующие медианы. Значит ВМ=ВN, значит углы ВМN и BNM равны. Вершина В у  треугольников АВА1 и СВС1  общая. Можно сказать, что это один треугольник, повернутый вокруг центра В на угол АВС1=60 градусов. Значит угол между медианами МВN=60.

Тогда в треугольнике ВМN углы  ВМN = BNM =(180-МВN)/2 =60, значит он равносторонний