На рисунке 195 две окружности имеют общий центр O. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные DE и KP, пересекающиеся в точке N. Найдите DN, если DE= 10см, а радиус меньшей окружности равен 3см.

1)1) пусть ∠А=x. тогда ∠В=x+80°, а ∠C=0,5*x. сумма всех углов в треугольнике равна 180° по теореме. составим и решим уравнение:
x+(x+80)+0,5x=180
2,5x+80=180
2,5x=100
x=100/2,5
x=40
∠А=40°
2)∠В=40°+80°=120°
3)∠C=40°×0,5=20°.

2)Найдем ∠АСО, т.к. СД-биссектриса,то она делит ∠С пополам,
значит ∠АСО=90/2=45°
∠САО=180-(105+45)=30°,т.к АЕ-биссектриса,то ∠А=60°
∠В=90-60=30°,т.к сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°

ответ: ∠А=60°,∠В=30°

3)Пусть перпендикуляр FР - расстояние от точки F до прямой DE.  Рассмотрим ΔЕFС и ΔЕFР. Эти треугольники прямоугольные. Они равны, т.к. у них общая гипотенуза ЕF и равные острые углы: 

∠СЕF = ∠РЕF. 

Из равенства этих треугольников следует и равенство катетов, лежащих против равных углов: РF = СF = 13см

Пусть РАВС - данная пирамида, Р-вершина, РО = √13 см - высота,
РА=РВ=РС=6 см

1. Рассмотрим Δ АОР - прямоугольный.
АО²+РО²=РА² - (по теореме Пифагора)
АО = √(РА²-РО²) = √(6² - (√13)²) = √(36-13) = √23 (см)

2. АО является радиусом описанной окружности.
R=(a√3) / 3
a= (3R) / √3 = (3√23)/√3  = √69 (см) - это длина стороны основы.

3. Находим периметр основы.
Р=3а
Р=3√69 см

4. Проводим РМ - апофему и находим ее.
Рассмотрим Δ АМР - прямоугольный.
АМ=0,5АВ=0,5√69 см
АМ²+РМ²=РА² - (по теореме Пифагора)
РМ = √(РА²-АМ²) = √(6² - (0,5√69)²) = √(36-17,25) = √18,75 = 2,5√3 (см)

5. Находим площадь боковой поверхности пирамиды.
Р = 1/2 Р₀l
Р = 1/2 · 3√69 · 2,5√3 = 3,75√207 = 3,75·3√23 = 11,25√23 (см²)

ответ. 11,25 √23 см².