Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
––––––––––––––
Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено.
Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей.
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
Пусть тр-к ABC имеет медианы AA', BB', CC', построим около него тр-к KLM такой, что KAB подобен CBA, LCB подобен ABC, MAC подобен BCA. Такое постороение возможно, потому что тогда угол CBL + угол ABK + B = 180 так как CBL = C, ABK = A; A + B + C = 180. Аналогично с остальными сторонами. Так как АВС подобен трем другим тр-кам, то получилось 3 параллелограмма: ABLC, ABCM, AKBC Как известно, в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Тогда BC^2 + AL^2 = 2AB^2+2AC^2 => AL^2=2AB^2+2AC^2-BC^2 Аналогично с остальными медианами - медиана равна половине корня из суммы удвоенных квадратов сторон, образующих угол, из которого опускается медиана, без квадрата стороны, на которую она опущена
Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3.
Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.
––––––––––––––
Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено.
Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания и радиусы соответственных окружностей.
Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1.
АКНО – прямоугольник.
В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r
Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно,
∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º
4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12
r=12:4=3
О1К=3r=9
Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.
∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°
◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности
С=2πr=6π
◡АВ=2π
∠КО1М=2∠КО1О=120°
меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности, большая
◡КМ =2/3 длины С1 большей окружности
С1=2π•9=18p
◡КМ=12π
Периметр равен сумме найденных длин дуг и длин двух общих внешних касательных.
Р=2π+12π+2•6√3=14π+12√3
Такое постороение возможно, потому что тогда угол CBL + угол ABK + B = 180 так как CBL = C, ABK = A; A + B + C = 180. Аналогично с остальными сторонами.
Так как АВС подобен трем другим тр-кам, то получилось 3 параллелограмма: ABLC, ABCM, AKBC
Как известно, в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Тогда BC^2 + AL^2 = 2AB^2+2AC^2 => AL^2=2AB^2+2AC^2-BC^2
Аналогично с остальными медианами - медиана равна половине корня из суммы удвоенных квадратов сторон, образующих угол, из которого опускается медиана, без квадрата стороны, на которую она опущена