На сторонах прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 построены квадраты, лежащие вне треугольника. найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих квадратов.
1. Я продолжаю катеты за вершины острых углов - катет a на величину второго катета b, и наоборот. Если через полученные точки, отстоящие от вершины прямого угла треугольника на (a + b), провести линии параллельно катетам до пересечения, то получится квадрат со стороной (a + b).
2. Вершины квадрата, построенного на гипотенузе, лежат на сторонах построенного квадрата (подобное построение используется в одном из доказательств теоремы Пифагора).
3. Если повернуть построенный квадрат (со стороной (a + b) ) на 90° вокруг его центра, то он перейдет "сам в себя". При этом вершины вписанного в него квадрата, построенного на гипотенузе исходного треугольника, тоже перейдут в себя. Поэтому центры этих квадратов совпадают.
4. Таким образом, отрезок p, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного на гипотенузе, равен половине диагонали квадрата со стороной (a + b) и образует с катетами углы в 45°. Его величина равна p = (a + b)√2/2;
5. Отрезок q, соединяющий центры квадратов, построенных на катетах, очевидно, проходит через вершину прямого угла, равен q = (a + b)√2/2 и тоже образует с катетами углы 45°. Поэтому отрезки p и q взаимно перпендикулярны, и можно считать p высотой в заданном в задаче треугольнике (при этом q - основание).
Окончательно S = p*q/2 = (a + b)^2/4 = (6 + 8)^2/4 = 49
эту задачу можно решить думаю по разному, но вот мое решение.
Давайте впишем наш прямоугольный треугольник , в координатнус плоксоть ОХУ, так чтобы стороны квадратов были сторонами осей координат. Будем строить наш треугольник только линейкой , для того чтобы подчеты был верны
Пусть наш треугольник А1В1С1 , а центры квадратов А, В, С, то есть у нас в задаче надо найти площадь этого треугольника!
Теперь как вписали наш треугольник , и квадраты , осталось найти центры каждого треугольника они будут находиться в точке персечение диагоналей квадрата, найти ее можно поделив диагональ пополам то есть , центр допустим первого квадрата будет
d=√2*6^2=6√2 - это по по теореме пифагора , теперь центр это половина то есть поделим на 2 получим 3√2 , но это не так важно , так как мы будет просто вставлять точки , то есть если мы нарисуем ЛИНЕЙКОЙ , то в легко увидеть координыта каждой точки А,В,С
B(4;10) C(11;3) A(15;13) ПОВТОРЯЮ ЭТО ВСЕ ВИДНО ЕСЛИ НАРИСОВАТЬ, ВСЕ ЛИНЕЙКОЙ, теперь можно найти длину каждой стороны , зная координаты каджой точки
По формуле АВ=√(x-x0)^2+(y-y0)^2 где х;x0 точки А и В итд
И так
BC=√(11-4)^2+(3-10)^2=7√2
AC=√(11-15)^2+(13-3)^2 = 2√29
AB=√(15-4)^2+(13-10)^2=√130
теперь по формуле герона можно найти или же просто найти угол между сторонами по теореме косинусов, затем формулой S=a*b*sina/2 , где а и в строны , и угол между ними
1. Я продолжаю катеты за вершины острых углов - катет a на величину второго катета b, и наоборот. Если через полученные точки, отстоящие от вершины прямого угла треугольника на (a + b), провести линии параллельно катетам до пересечения, то получится квадрат со стороной (a + b).
2. Вершины квадрата, построенного на гипотенузе, лежат на сторонах построенного квадрата (подобное построение используется в одном из доказательств теоремы Пифагора).
3. Если повернуть построенный квадрат (со стороной (a + b) ) на 90° вокруг его центра, то он перейдет "сам в себя". При этом вершины вписанного в него квадрата, построенного на гипотенузе исходного треугольника, тоже перейдут в себя. Поэтому центры этих квадратов совпадают.
4. Таким образом, отрезок p, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного на гипотенузе, равен половине диагонали квадрата со стороной (a + b) и образует с катетами углы в 45°. Его величина равна p = (a + b)√2/2;
5. Отрезок q, соединяющий центры квадратов, построенных на катетах, очевидно, проходит через вершину прямого угла, равен q = (a + b)√2/2 и тоже образует с катетами углы 45°. Поэтому отрезки p и q взаимно перпендикулярны, и можно считать p высотой в заданном в задаче треугольнике (при этом q - основание).
Окончательно S = p*q/2 = (a + b)^2/4 = (6 + 8)^2/4 = 49
эту задачу можно решить думаю по разному, но вот мое решение.
Давайте впишем наш прямоугольный треугольник , в координатнус плоксоть ОХУ, так чтобы стороны квадратов были сторонами осей координат. Будем строить наш треугольник только линейкой , для того чтобы подчеты был верны
Пусть наш треугольник А1В1С1 , а центры квадратов А, В, С, то есть у нас в задаче надо найти площадь этого треугольника!
Теперь как вписали наш треугольник , и квадраты , осталось найти центры каждого треугольника они будут находиться в точке персечение диагоналей квадрата, найти ее можно поделив диагональ пополам то есть , центр допустим первого квадрата будет
d=√2*6^2=6√2 - это по по теореме пифагора , теперь центр это половина то есть поделим на 2 получим 3√2 , но это не так важно , так как мы будет просто вставлять точки , то есть если мы нарисуем ЛИНЕЙКОЙ , то в легко увидеть координыта каждой точки А,В,С
B(4;10) C(11;3) A(15;13) ПОВТОРЯЮ ЭТО ВСЕ ВИДНО ЕСЛИ НАРИСОВАТЬ, ВСЕ ЛИНЕЙКОЙ, теперь можно найти длину каждой стороны , зная координаты каджой точки
По формуле АВ=√(x-x0)^2+(y-y0)^2 где х;x0 точки А и В итд
И так
BC=√(11-4)^2+(3-10)^2=7√2
AC=√(11-15)^2+(13-3)^2 = 2√29
AB=√(15-4)^2+(13-10)^2=√130
теперь по формуле герона можно найти или же просто найти угол между сторонами по теореме косинусов, затем формулой S=a*b*sina/2 , где а и в строны , и угол между ними
c^2=a^2+b^2-2ab*cosa
cosa=c^2-a^2-b^2/-2ab
теореме косинусов
cosa= 116-130-98/-2√12740 = 56/√12740
sina=98/√12740
Формула такая sina=√1-cos^2a
теперь ставим в формулу S =ab*sina/2
S=√12740*98/√12740 /2 = 49 ответ 49 см ^2