На сторонах угла ∡ abc точки a и c находятся на равных расстояниях от вершины угла ba=bc. через эти точки к сторонам угла проведены перпендикуляры ae⊥ bd, cd⊥ be.
1. докажи равенство треугольников δafd и δcfe.
2. определи величину угла, под которым перпендикуляр cd пересекает ba, если ae пересекает bc под углом 32°.
1. назови треугольники, равенство которых позволит доказать равенство δafd и δcfe:
δba(вставить букву)? = δ
по какому признаку доказывается это равенство?
по второму
по первому
по третьему
отметь элементы, равенство которых в этих треугольниках позволяет применять выбранный признак:
углы:
bea
dcb
bdc
eab
cbd
abe
стороны:
eb
db
ba
bc
ae
cd
по какому признаку доказывается равенство δafd и δcfe?
по третьему
по второму
по первому
отметь элементы, равенство которых в треугольниках δafd и δcfe позволяет применять выбранный признак:
углы:
dfa
adf
fad
efc
fce
cef
стороны:
fa
ef
ce
fc
ad
df
2. величина угла, под которым перпендикуляр cd пересекает ba —(сколько градусов? )
ΔАВС-прямоугольный;
∠КВС - внешний;
∠КВС = 112°
∠С - острый;
АО - медиана
Найти ∠АОС
Решение.
1) ∠КВС - смежный с углом ∠АВС.
Сумма смежных углов равна 180°.
∠КВС + ∠АВС = 180°
Отсюда , находим величину ∠АВС.
∠АВС = 180° - 112° = 68°.
∠АВС = 68° - острый.
2) По условию ∠С - острый.
Значит, ∠А - прямой
∠А = 90°
3) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
∠А + ∠С = ∠КВС
90° + ∠С = 112°
°С = 112° - 90°
∠С = 22°
4) АО - это медиана, проведенная к гипотенузе.
Используем ее основное свойство, согласно которому медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.
Получается, что
АО = ОВ = ОС
5) В равнобедренном ΔАОС против равных сторон АО=ОС лежат равные углы:
∠ОАС = ∠С = 22°
6) Сумма всех углов треугольник равна 180°.
Для ΔАОС эта сумма выглядит так:
∠ОАС + ∠С + ∠АОС = 180°
22° + 22° + ∠АОС = 180°
∠АОС = 180° - 44°
∠АОС = 136°
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным в зависимости от данных в условии задачи.
Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле
или, в другой записи,
где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).
Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника
(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:
Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде
Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности: