На стороне АС треугольника АВС выбрано точку М так, что ∠АВМ = ∠С. Найдите длину отрезка МС, если АМ = 2 см, АВ = 4 см.

1 вариант

1) Сумма всех углов прямоугольного треугольника 180°, следовательно угол А = 180-90-43 = 47°

2) Катет лежащий на против угла в 30° градусов равен половине гипотенузы СВ = АВ/2 = 12см

3) Катет лежащий на против угла в 30° градусов равен половине гипотенузы угол М = 30°, следовательно KL = КМ/2 = 9 см

4) Находим катет ВС по теореме Пифагора

Находим синус угла А, sin(A) = 13,85/16 = 0,865625

Угол А будет равен арксинусу этого числа 59,95 можно округлить до 60°.

5) В треугольнике угол MNO будет равен 30°, поскольку в треугольник MNK прямоугольный. Гипотенуза MN будет равно 6, так как катет МО лежит на против угла в 30°, а значит он равен половине гипотенузы. Катет  NO находим по теореме Пифагора . В прямоугольном треугольнике NOK катет NO лежит на против угла в 30°, значит он равен половине гипотенузы, следовательно гипотенуза NK = 10,4. Катет ОК находим по теореме Пифагора ОК = 9,0066 округлим до 9. МК = МО + ОК = 12.

2 Вариант

1) Сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 180°, следовательно угол К будет равен К = 180 - 90 - 72 = 18°.

2) Катет ВС лежит на против угла А, который равен 30°, следовательно катет равен половине гипотенузы 15 см.

3) Катет XZ лежит на против угла в 30° он равен половине гипотенузы, следовательно гипотенуза XY = 2*XZ = 24.

4) Находим катет АС по теореме Пифагора. АС = 36,4. Находим синус угла В, sin(B) = 36,4/42 = 0,8666. Угол В будет равен арксинусу этого числа. Угол В равен 60,07° можно округлить до 60°

5) В прямоугольном треугольнике АВС, катет АС лежит на против угла в 30°, следовательно он равен половине гипотенузы АВ, катет АС = 40 см. В треугольнике МСВ угол МСВ равен 60°, поскольку в этом треугольнике угол СМВ прямой. Следовательно угол АСМ = 90-60 = 30°. В треугольнике АСМ катет АМ лежит на против угла в 30° и он равен половине от гипотенузы АС, следовательно катет АМ = 20см.

Объяснение:

1) ∠А + ∠В + ∠С = 180°

∠А = 180° -  ∠В + ∠С = 180° -90° - 43° = 90°-43° = 47°

2. Δ АСВ - прямоугольный, ∠С =90°

В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла в 30°, равна половине гипотенузы.

СВ = АВ/2 = 24 / 2 =12 (см)

3. ∠M = 90° - 60° = 30° (см. объяснение к 2.)

KL = KM / 2 = 18/2 = 9(см)

4. АС = ВА/2 = 16/2 =8см, значит, АС лежит против угла в 30°, т.е

∠В = 30°. Тогда ∠А = 90° -30° = 60°

5.

1) Рассмотрим ΔMON, ∠MON = 90°, значит ΔMON - прямоугольный.

∠MON = 90° -60° = 30°, следовательно,

МО = MN/2, откуда MN = 2MO = 2 * 3 = 6(см)

MN = 6см

2)  Рассмотрим Δ MNK

∠M = 60° , ∠K = 30°, тогдат ∠N = 180° -60°-30° = 90°, т.е.

Δ MNK - прямоугольный.

∠K = 30°, значит, MN= МК/2, откуда

МК = 2MN= 2 *6 = 12см

МК = 12см

3) ОК = MK - OM = 12 - 3 = 9 (см)

ОК = 9см

2 вар

1. ∠К = 180° -∠М - ∠Н = 180° - 72° -90° = 18°

2. ВС = ВА/2 , т.к. ∠А = 90° -60° = 30°, а против угла в 30° лежит катет = 1/2 гипотенузы.

ВС = 30/2 = 15(см)

3. ху = 12*2 = 24(см) , т.к лежит против угла в 30°

4. ∠А = 30°, т.к. СВ = АВ/2 = 42/2 = 21(см)

∠В = 90° - 30° = 60°

5. 1) ∠ВСМ = 90° -30° = 60°

∠АСМ = ∠СВМ по условию

∠АСМ = ∠СВМ = 30°

Тогда ∠АСВ = ∠АСМ + ∠ВСМ = 30° + 60° = 90° ,т.е

Δ АСВ - прямоугольный. ∠В = 30° и, следовательно,

АС = АВ/2 = 80 /2 =40см

2) Δ АСМ - прямоугольный, ∠АСМ = 30°, значит,

Ам =АС/2 = 40/2 = 20(см)