На стороне PC треугольника PKC расположены точки A и B так, что AP=AK и KB=BC . При этом оказалось , что величина угла AKB равна 40 градусов. Найдите угол PKC.

Рассмотрим треугольники ABD  и ACD. Проведем высоты ВН и СК.
Sabd = AD·BH/2
Sacd = AD·CK/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
AD·BH/2 = AD·CK/2 ⇒ ВН = СК.
Но ВН ║ СК как перпендикуляры к одной прямой. Тогда НВСК - прямоугольник и, значит, НК ║ ВС, а
значит, AD ║ BC.

Рассмотрим треугольники ACD и BCD.
Проведем высоты АЕ и ВТ к стороне CD.
Sacd = CD·AE/2
Sbcd = CD·BT/2
Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты:
CD·AE/2 = CD·BT/2 ⇒ AE = BT.
Но АЕ ║ ВТ как перпендикуляры к одной прямой. Тогда ЕАВТ - прямоугольник и, значит, ЕТ ║ АВ, а
значит, СD ║ АВ.

AD ║ BC, СD ║ АВ, значит ABCD - параллелограмм по определению.

Пусть К - середина АС, Р - середина СВ.

МР II AC; MP = AC/2 = KC; MK = CP; MK II CP;

СМ - диаметр, поэтому углы МКС и МРС прямые. 

Поэтому АМ = СМ и ВМ = СМ = 5; и КР = 5, то есть КР тоже диаметр, углы КМР и АСВ - прямые.

Итак, прямоугольный треугольник АВС имеет гипотенузу 10 и площадь 24.

Легко вычислить, что катеты равны 6 и 8, и вообще это египетский треугольник.

Сумеете?:) (интересно, что в слове "сумеете" есть протокорень "ум")

 

x*y = 48;

x^2 + y^2 = 100;

=>

(x + y)^2 = 196;

(x - y)^2 = 4;

=>

x + y = 14;

x - y = 2;

=>

x = 8; y = 6;

Периметр 24;