Найдите cosA, если а) tg A=3
б) tg A=0,8​

1 а) ВА ВС ВВ1, в которой все три вектора, выходя из одной вершины, направлены в разные стороны. Во второй группе векторы АВ1 и СС1, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.
ответ: а) ВА ВС ВВ1.
2 а) ВА+ВС+ВВ1+В1А =ВК, так как
ВА+ВС=ВА+AD=BD;
BB1+B1A=BA; BD+BA=BD+DK(DK=BA)=BK.
Или так: BD+BB1=BD+DD1=BD1;
BD1+B1A=BD1+D1K(D1K=B1A)=BK. Решение не удовлетворяет условию.
б) ВВ1+СD+A1D1+D1В = BB=0, так как:
BB1+CD=BB1+B1A1=BA1;
BA1+A1D1+D1B=BB = 0.
3. а)  Вектор BD=BA+AD.  BA=AH+HB; AD=2*AM.
AH=(3/2)*AO (так как АН - высота правильного треугольника и АО=(2/3)*АН).
НВ= - (1/2)ВС.  Тогда BD=(3/2)*AO - (1/2)ВС+2*AM. Или
BD=4AM - ВС+3AO.
б)  Вектор АС=BC-BA.  BC=BD+DC; DN=BN-BD; DC=2DN=2(BN-BD).
Тогда  АС=BD+2(BN-BD)-BA, или
АС= 2BN-BD-BA.
4. a) Вектор MC=MA+AC. MA=(1/2)*DA, DA=BA-BD,
AC=BC-BA.  Тогда МС=(1/2)*(BA-BD) +BC-BA  или
МС=ВС-(ВА+BD)/2.
б) Вектор АВ=DB-DA. DA=2DM.
AB=DB-2DM.
Или так: АВ=АС+СВ, АС=DC-DA,
AC=2(DN-DM) так как M и N - середины DA и DC)/
CB=DB-DC=DB-2DN.
AB=2DN-2DM+DB-2DN = DB-2DM.

Если окружность КАСАЕТСЯ отрезка DK и одновременно проходит через точку D,
значит точка D является ТОЧКОЙ КАСАНИЯ. По теореме о касательной и секущей: квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью, то есть DK²=KC*KJ=15*24=360.
Итак, DK=√360=6√10. Найдем DC по теореме косинусов:
DC²=DK²+KC²-2*DK*KC*Cos(DKC). DC²=360+225-2*6√10*15*(1/5)√10=225. DC=15.
Следовательно, треугольник DCK равнобедренный (DC=KC) и значит 
<CDK=<CKD(<JKD). То есть Cos(CDK)=(1/5)*√10.
Градусная мера <CDK равна половине градусной меры дуги DC (по свойству угла
между касательной и хордой, проведенной в точку касания), а градусная мера
центрального угла DOC равна градусной мере  дуги DC. То есть <DOC=2*<CDK.
В нашем случае Cos(<CDK)=(1/5)*√10.  Тогда
Sin(<CDK)=√(1-Cos²(<CDK))=√(1-10/25)=√(15/25)=(1/5)*√15.
По формуле приведения cos2a=cos²a-sin²a.
В нашем случае Cos(<DOC)=10/25-15/25=-5/25=-0,2.
В треугольнике ОDC по теореме косинусов
DC²=OD²+OC²-2*OD*OC*Cos(<DOC) или
225=2R²-2R²*(-0,2) или 225=2R²(1+0,2). Отсюда R²=225/2,4.
R= 15/√2,4≈9,677≈9,7.
ответ: радиус проведенной окружности равен 9,7.

Второй вариант решения:
Продлим DO до пересечения с окружностью в точке М.  Углы <DMC=<CDK (Так как оба опираются на одну дугу DC и равны половине ее градусной меры. <DMC - как вписанный, а <CDK - по свойству угла  между касательной и хордой, проведенной в точку касания). Тогда Sin(DMC)=Sin(<CDK)=(1/5)*√15. (Найдено в первом варианте).
Но вписанный   треугольник DMC прямоугольный, так как DM - диаметр. Тогда DM=DC/Sin(DMC) = 15/[(1/5)*√15]=5√15. DM - диаметр.
Значит радиус R=(5/2)*√15 ≈9,68≈9,7.
ответ: радиус проведенной окружности равен (5/2)*√15.