В качестве основания берем прямоугольный треугольник со сторонами пусть CA=5 см и CB=10 см ,высота пирамиды будет CD = 7 см , действительно , DC ⊥ CA ;DC ⊥ CB ⇒DC⊥ плоскости (ABC) . V =1/3 *(5*10)/2 *7 =175/3 (см³) . * * * 58 1/3 * * *
Sпол = S(ACD) + S(BCD) +S(ABC)+S(ADB) . S(ACD) =AC*CD/2 =5*7/2 = 17,5 (см²) ; S(BCD) =BC*CD/2 =10*7/2= 35 (см²) ; S(ABC) =AC*BC/2 = 5*10/2 =25 (см²) . Площадь треугольника ADB можно вычислить по формуле Герона (известны AB =√125 ; AD=√74 ; BD =√149 ) , но арифметика скучная ... Поэтому поступаем иначе ; из вершины прямого угля С треугольника ABC проводим высоту CH ⊥ AB и H соединим с вершиной D. AB ⊥ HC ⇒ AB ⊥ HD (HC проекция HD) ,<CHD =α.) S(ABC) =S(ADB)*cosα ⇒ S(ADB)= S(ABC)/cosα =25/cosα. S(ABC) =AC*BC/2 = AB *СН/2 ⇒ СН =5*10/√125 =10/√5 =2√5 . Из ΔHCD по теореме Пифагора CD = √(CH²+CD²) =√((2√5)² +7²) =√69; cosα =CH/CD =2√5/√69 ; S(ADB)= 25/cosα =25√69/2√5 =2,5√345 (см²) . Таким образом окончательно Sпол =(77,5 +2,5√345 ) см².
Радиус шара 15 см. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 см от его поверхности. Найти длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстают от А на 20 см Расстояние измеряется перпендикуляром. А находится на отрезке прямой, перпендикулярной диаметру искомой окружности. Точка А от центра шара удалена на 15+10=25 см ( радиус + расстояние) Все точки искомой окружности находятся на поверхности окружности основания воображаемого конуса, "надетого" на шар. Смотрим схематический рисунок - разрез шара через центр и точку А. АО=15+10=25 см. ОК=R АК - расстояние, на которое должна быть удалена точка А от поверхности. КМ- диаметр искомой окружности,КН - ее радиус.
Имеем треугольник АКО со сторонами, отношение которых 3:4:5 - отношение прямоугольного "египетского" треугольника. Радиус искомой окружности КН - высота этого треугольика. Чтобы найти высоту, применим свойство катета прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. Пусть отрезок гипотенузы, заключенный между катетом и высотой, ОН =х Тогда ОК ²=х*25 25х=225 х=9 Из треугольника КНО КН²=КО²-ОН²= 225-81=144 КН=r=12 см Длина окружности с радиусом 12 см С=2πr= 2π12=24π cм
пусть CA=5 см и CB=10 см ,высота пирамиды будет CD = 7 см , действительно , DC ⊥ CA ;DC ⊥ CB ⇒DC⊥ плоскости (ABC) .
V =1/3 *(5*10)/2 *7 =175/3 (см³) . * * * 58 1/3 * * *
Sпол = S(ACD) + S(BCD) +S(ABC)+S(ADB) .
S(ACD) =AC*CD/2 =5*7/2 = 17,5 (см²) ;
S(BCD) =BC*CD/2 =10*7/2= 35 (см²) ;
S(ABC) =AC*BC/2 = 5*10/2 =25 (см²) .
Площадь треугольника ADB можно вычислить по формуле Герона (известны AB =√125 ; AD=√74 ; BD =√149 ) , но арифметика скучная ...
Поэтому поступаем иначе ; из вершины прямого угля С треугольника ABC проводим высоту CH ⊥ AB и H соединим с вершиной D.
AB ⊥ HC ⇒ AB ⊥ HD (HC проекция HD) ,<CHD =α.)
S(ABC) =S(ADB)*cosα ⇒ S(ADB)= S(ABC)/cosα =25/cosα.
S(ABC) =AC*BC/2 = AB *СН/2 ⇒ СН =5*10/√125 =10/√5 =2√5 .
Из ΔHCD по теореме Пифагора CD = √(CH²+CD²) =√((2√5)² +7²) =√69;
cosα =CH/CD =2√5/√69 ;
S(ADB)= 25/cosα =25√69/2√5 =2,5√345 (см²) .
Таким образом окончательно
Sпол =(77,5 +2,5√345 ) см².
ответ : ( 77,5 +2,5√345) см² , 175/3 см³.
Вне шара дана точка А на расстоянии 10 см от его поверхности.
Найти
длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстают от А на 20 см Расстояние измеряется перпендикуляром. А находится на отрезке прямой, перпендикулярной диаметру искомой окружности. Точка А от центра шара удалена на 15+10=25 см ( радиус + расстояние)
Все точки искомой окружности находятся на поверхности окружности основания воображаемого конуса, "надетого" на шар.
Смотрим схематический рисунок - разрез шара через центр и точку А.
АО=15+10=25 см.
ОК=R
АК - расстояние, на которое должна быть удалена точка А от поверхности.
КМ- диаметр искомой окружности,КН - ее радиус.
Имеем треугольник АКО со сторонами, отношение которых 3:4:5 - отношение прямоугольного "египетского" треугольника.
Радиус искомой окружности КН - высота этого треугольика.
Чтобы найти высоту, применим свойство катета прямоугольного треугольника:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
Пусть отрезок гипотенузы, заключенный между катетом и высотой,
ОН =х
Тогда
ОК ²=х*25
25х=225
х=9
Из треугольника КНО
КН²=КО²-ОН²= 225-81=144
КН=r=12 см
Длина окружности с радиусом 12 см
С=2πr= 2π12=24π cм