Есмағамбет төрт жылдан кейін ауылға оралуы керек еді. Ол таңғы пойыздан түсе салысымен отбасымен және достарымен кездесу әдеттегідей өтті. Біреулер құшақтады, біреулер сүйді, ал басқалары бұл туралы алыстан әңгімелесті. Олардың күткен көліктерге мініп, содан кейін аудан орталығында тұратын немересі Балмағамбеттің үйінің ауласына түскендері толқу мен күлкі тудырды. Осы арада құшақ ... Сүйісулер ... Ал мені пойызда қарсы алғандар, аулада кездескендер, шуылдаған әңгімелермен және күлкімен үйге кіріп, жайлы үстелге жайғасты. Алдымен шай іштік, сосын ет жедік. Осы уақыт ішінде көптеген туыстары мен достары өз шаруаларымен қонақтардан рұқсат сұрады, алайда жаңадан келгендердің басқа тобы қызығушылық танытпады немесе қуанышты болмады. Жаңадан келгендердің көптігіне байланысты алты-жеті адам тағамды әдейі айтқандай ет табағына отырады.
решение пусть в выпуклом четырехугольнике abcd ав + cd =вс +ad. (1) точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd.
предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' описанный четырехугольник, то по свойству его сторон
но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем:
правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству
т.е. в четырехугольнике ccdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать.
Есмағамбет төрт жылдан кейін ауылға оралуы керек еді. Ол таңғы пойыздан түсе салысымен отбасымен және достарымен кездесу әдеттегідей өтті. Біреулер құшақтады, біреулер сүйді, ал басқалары бұл туралы алыстан әңгімелесті. Олардың күткен көліктерге мініп, содан кейін аудан орталығында тұратын немересі Балмағамбеттің үйінің ауласына түскендері толқу мен күлкі тудырды. Осы арада құшақ ... Сүйісулер ... Ал мені пойызда қарсы алғандар, аулада кездескендер, шуылдаған әңгімелермен және күлкімен үйге кіріп, жайлы үстелге жайғасты. Алдымен шай іштік, сосын ет жедік. Осы уақыт ішінде көптеген туыстары мен достары өз шаруаларымен қонақтардан рұқсат сұрады, алайда жаңадан келгендердің басқа тобы қызығушылық танытпады немесе қуанышты болмады. Жаңадан келгендердің көптігіне байланысты алты-жеті адам тағамды әдейі айтқандай ет табағына отырады.
решение
пусть в выпуклом четырехугольнике abcd
ав + cd =вс +ad. (1)
точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd.
предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' описанный четырехугольник, то по свойству его сторон
но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем:
правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству
т.е. в четырехугольнике ccdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать.