Примем высоту трапеции "h", верхнее основание "а", нижнее "в".
Боковые стороны равны 2h,как лежащие против угла в 30 градусов. Сторона в = а + 2(2h*cos30°) = a + 2(2h*(√3/2) = a + 2h√3. Площадь S = ((a + a + 2h√3)/2)*h = (a + h√3)*h = ah + h²√3. По заданию ah + h²√3 = 200. Отсюда сторона а = (200 - h²√3)/h. Периметр Р = 2*(2h) + a + a + 2h√3. Подставим вместо а её значение относительно h. P = 4h + 2h√3 + 2((200 - h²√3)/h) = (4h² + 400)/h. Производная функции равна: dP/dh = (4h² - 400)/h². Приравниваем нулю (достаточно числитель): 4h² - 400 = 0, h = √(400/4) = √100 = 10. Это значение высоты трапеции при минимальном периметре. Сам периметр равен: Р = (4*10² + 400)/10 = 800/10 = 80.
Боковые стороны равны 2h,как лежащие против угла в 30 градусов.
Сторона в = а + 2(2h*cos30°) = a + 2(2h*(√3/2) = a + 2h√3.
Площадь S = ((a + a + 2h√3)/2)*h = (a + h√3)*h = ah + h²√3.
По заданию ah + h²√3 = 200.
Отсюда сторона а = (200 - h²√3)/h.
Периметр Р = 2*(2h) + a + a + 2h√3.
Подставим вместо а её значение относительно h.
P = 4h + 2h√3 + 2((200 - h²√3)/h) = (4h² + 400)/h.
Производная функции равна: dP/dh = (4h² - 400)/h².
Приравниваем нулю (достаточно числитель):
4h² - 400 = 0,
h = √(400/4) = √100 = 10.
Это значение высоты трапеции при минимальном периметре.
Сам периметр равен: Р = (4*10² + 400)/10 = 800/10 = 80.
1. 15 см.
2. 31,75 см².
3. 36 м².
4. 21 кв. ед.
5. 113,4 см².
6. 6 см.
7. 50 см².
8. 27 см².
9. 7 см.
Объяснение:
1. Пусть меньший катет равен 2х. Тогда больший равен 5х.
S=1/2(ah)=1/2(2x*5x)=(1/2)10x²=5x²;
5x²=45;
x²=9;
х=±3; (-3 - не соответствует условию) .
х=3 см.
Больший катет равен 5х=5*3=15 см.
***
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S=1/2 ah;
S=12.7*5/2= 31.75см².
***
3. ABCD - прямоугольная трапеция. ∠А=∠В=90°. ВС=7 м, AD=11 м.
∠D=45°. Высота СЕ отсекает равносторонний треугольник СЕD, у которого ∠D=45°, CE⊥AD.
ED=CE=AD-BC=11-7=4 м.
S=h(a+b)/2=4(7+11)/2=2*18=36 м².
***
4. Есть несколько вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге. Предложу свой.
Дополним параллелограмм до прямоугольника и вычтем площади дополнительных треугольников (см. приложение).
S=S(прямоугольника) - 2S(треугольника);
S=5*7-2(2*7)/2=35-14= 21 кв. ед.
***
5. S=ah, где а=16,2 см. Найдем h.
BE/AB=Sin 30°;
BE=AB*Sin30° =14*(1/2)=7 см.
S=16.2*7=113.4 см²
***
6. Площадь ромба по его диагоналям:
S=D*d/2;
d=2S/D=2*24/8=48/8=6 см.
***
7. Пусть сторона квадрата равна а см.
Найдем а: 5²= а²+а²; 2а²=5²; а=√(5²)/2=5√2 см;
S=a²=(5√2)²=50 см².
***
8. Пусть одна сторона равна х тогда вторая равна 3х.
Р(ABCD)=2(AB+BC);
2(x+3x)=24;
4x=12;
x=3 см - меньшая сторона (AB).
Большая сторона равна 3х=3*3=9 см (BC).
Площадь равна S=AB*BC=3*9=27 см².
***
9. S(ABC)=(1/2)AB*CE=1/2*14*10=70 см².
Ту же площадь можно найти по формуле:
S=1/2(BC*AF), где AF - высота, проведенная к стороне ВС
1/2(20*AF)=70;
20*AF=140;
AF=140/20=7 см.