Около трапеции со средней линией 6 см описана окружность. угол между радиусами, проведенными к концам боковой стороны, равен 120 градусам. найдите площадь трапеции.

R - радиус, m - средняя линяя, h - высота трапеции, d - расстояние от центра до боковой стороны, Х  - угол между боковой стороной и высотой трапеции.

Точно такой же угол Х - между средней линией и отрезком d, соединяющим центр окружности и середину боковой стороны. Углы эти равны потому что стороны их  попарно перпендикулярны. 

Поэтому средняя линяя равна m = 2*d*cos(X);

Легко видеть, что d = R/2, то есть m = R*cos(X)

Боковая сторона, очевидно, равна с = R*√3,

ну и высота h = с*cos(X) = R*√3*cos(X) = m*√3;

S = m^2√3 = 36√3 при m = 6 

Ох я, блин :(((

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой трапеции h, проведенной из вершины меньшего основания, диагональю трапециии и её проекцией на большее основание, угол между диагональю и большим основанием равен 60 градусам - это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол в 120 градусов, соответствующий боковой стороне.

Поэтому проекция диагонали на большее основание равна h/√3;

Эта проекция (то есть кусочек основания между дальней вершиной и точкой-основанием высоты) равна средней линии, что показать проще простого. 

(если проекция боковой стороны на большее основание а равна x, то проекция диагонали равна а - х, при этом меньшее основание b равно а - 2*х, откуда видно, что

a - x = (a + b)/2)

Отсюда сразу следует ответ :)