Интересно, где Вы учитесь, если такие задачи задают. Вот решение этой задачи без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий) Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3; Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других. то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3; Остается подставить это в известные соотношения 1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3; и 4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности. то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3; это все. Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях. К примеру, площадь S исходного треугольника равна S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r; Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.
Точки L и N лежат на ребрах SG и SE соответственно, причем SL = 3, SN = 3. Точка Т - середина ребра SF.
Найдите:
а) точку Y1 пересечения прямой TL и плоскости EFG;
б) точку Y2 пересечения прямой TN и плоскости EFG;
в) длину отрезка Y1Y2;
г) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF;
д) прямую пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE;
е) отношение, в котором плоскость LY1Y2 делит отрезок SE, считая от точки S.
Определение: Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние треугольники.
а) точка Y1 должна лежать на линии пересечения плоскостей GSF и EFG, так как прямая TL лежит в плоскости GSF. Для ее нахождения продлим прямую TL за точку Т до пересечения с продолжением прямой GE (линии пересечения плоскостей GSF и EFG.
б) точка Y2 должна лежать на линии пересечения плоскостей ЕSF и EFG, так как прямая TN лежит в плоскости ESF. Для ее нахождения продлим прямую TN за точку Т до пересечения с продолжением прямой EF (линии пересечения плоскостей ESF и EFG.
в) Проведем в грани GSF прямую LH параллельно ребру SF. Треугольник GLH подобен треугольнику GSF, следовательно он правильный и LH = GL = 9 ед. Треугольники LHY1 и TFY1 также подобны с коэффициентом подобия k = TF/LH = 6/9 = 2/3. Тогда FY1/HY1 = 2/3 => FY1/(FY1+HF) = 2/3. HF = 3 (HF=SL, так как LH║SF) => FY1 = 6 ед.
Аналогично и для грани ESF => FY2 = 6 ед.
Треугольник Y1FY2 равнобедренный с углом при вершине F равным 60° (он вертикальный с углом EFG правильного треугольника EFG). Следовательно, это правильный треугольник и его сторона
Y1Y2 = Y1F = Y2F = 6 ед.
г) точка пересечения прямой TN и плоскости ELF - это точка Y2, так как плоскости ELF и ESF пересекаются по прямой EF, следовательно, прямая TN, лежащая в плоскости ESF, пересечет плоскость ELF в точке Y2 на линии пересечения этих плоскостей.
д) прямая пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE - это прямая TY2 (NY2), так как точки Т и Y2 принадлежaт плоскости NFE (SEF) и плоскости LY1Y2.
е) точка N принадлежит плоскости LY1Y2, так как эта плоскость определяется как единственная пересекающимися прямыми LY1 и NY2. SN = 3, а SE = 12(дано), значит NE = 12 -3 =9). Следовательно, плоскость LY1Y2 делит отрезок SE в отношении SN/NE = 1:3, считая от точки S.
P.S. Пункт в) можно решить по теореме Менелая.
Для треугольника GSF и секущей LY1 имеем:
(GL/LS)*(ST/TF)*(FY1/Y1G) = 1. Подставим известные значения:
(9/3)*(6/6)*(FY1/Y1G) = 1 => FY1/Y1G = 1/3. Или
FY1/(12+FY1) = 1/3. => FY1 = 6 ед.
Аналогично для треугольника ESF и секущей NY2 получаем
Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3;
Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции
ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других.
то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3;
Остается подставить это в известные соотношения
1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3;
и
4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности.
то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3;
это все.
Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях.
К примеру, площадь S исходного треугольника равна
S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда
1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r;
Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.
Объяснение:
Дан правильный тетраэдр EPGS, у которого EF = 12.
Точки L и N лежат на ребрах SG и SE соответственно, причем SL = 3, SN = 3. Точка Т - середина ребра SF.
Найдите:
а) точку Y1 пересечения прямой TL и плоскости EFG;
б) точку Y2 пересечения прямой TN и плоскости EFG;
в) длину отрезка Y1Y2;
г) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF;
д) прямую пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE;
е) отношение, в котором плоскость LY1Y2 делит отрезок SE, считая от точки S.
Определение: Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние треугольники.
а) точка Y1 должна лежать на линии пересечения плоскостей GSF и EFG, так как прямая TL лежит в плоскости GSF. Для ее нахождения продлим прямую TL за точку Т до пересечения с продолжением прямой GE (линии пересечения плоскостей GSF и EFG.
б) точка Y2 должна лежать на линии пересечения плоскостей ЕSF и EFG, так как прямая TN лежит в плоскости ESF. Для ее нахождения продлим прямую TN за точку Т до пересечения с продолжением прямой EF (линии пересечения плоскостей ESF и EFG.
в) Проведем в грани GSF прямую LH параллельно ребру SF. Треугольник GLH подобен треугольнику GSF, следовательно он правильный и LH = GL = 9 ед. Треугольники LHY1 и TFY1 также подобны с коэффициентом подобия k = TF/LH = 6/9 = 2/3. Тогда FY1/HY1 = 2/3 => FY1/(FY1+HF) = 2/3. HF = 3 (HF=SL, так как LH║SF) => FY1 = 6 ед.
Аналогично и для грани ESF => FY2 = 6 ед.
Треугольник Y1FY2 равнобедренный с углом при вершине F равным 60° (он вертикальный с углом EFG правильного треугольника EFG). Следовательно, это правильный треугольник и его сторона
Y1Y2 = Y1F = Y2F = 6 ед.
г) точка пересечения прямой TN и плоскости ELF - это точка Y2, так как плоскости ELF и ESF пересекаются по прямой EF, следовательно, прямая TN, лежащая в плоскости ESF, пересечет плоскость ELF в точке Y2 на линии пересечения этих плоскостей.
д) прямая пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE - это прямая TY2 (NY2), так как точки Т и Y2 принадлежaт плоскости NFE (SEF) и плоскости LY1Y2.
е) точка N принадлежит плоскости LY1Y2, так как эта плоскость определяется как единственная пересекающимися прямыми LY1 и NY2. SN = 3, а SE = 12(дано), значит NE = 12 -3 =9). Следовательно, плоскость LY1Y2 делит отрезок SE в отношении SN/NE = 1:3, считая от точки S.
P.S. Пункт в) можно решить по теореме Менелая.
Для треугольника GSF и секущей LY1 имеем:
(GL/LS)*(ST/TF)*(FY1/Y1G) = 1. Подставим известные значения:
(9/3)*(6/6)*(FY1/Y1G) = 1 => FY1/Y1G = 1/3. Или
FY1/(12+FY1) = 1/3. => FY1 = 6 ед.
Аналогично для треугольника ESF и секущей NY2 получаем
FY2 = 6 ед.