Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Каждый из двугранных углов при ребрах
основания равна 60 °. Найдите высоту пирамиды и площадь
боковой поверхности.
Основа піраміди - прямокутний трикутник з катетами
12 см і 16 см. Кожен із двогранних кутів при ребрах
основи дорівнює 60°. Знайдіть висоту піраміди та площу
бічної поверхні.
S=πRl+πR², ( l образующая)
Sполн.пов.=πR*(l+R)
1. сечение конуса - равнобедренный прямоугольный треугольник: гипотенуза - хорда х=6, катеты - образующие конуса l.
по теореме Пифагора:
x²=l²+l², 6²=l²+l², l²=18, l=3√2
2. осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник основание - диаметр основания конуса d, боковые стороны - образующие конуса l.
по теореме косинусов: d²=l²+l²-2*l*l*cos120°
d²=18+18-2*√18*√18*(-1/2)
d²=54, d=3√6. R=1,5√6
S=π*1,5(√6*3√2+1,5)=1,5*π*(6√2+1,5)
S=1,5π*(6√2+1,5)
Для решения задачи нужна площадь треугольника.
Её можно тупо сосчитать по формуле Герона, а можно и сообразить, что треугольник "составлен" из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), так, что катет 12 у них общий, а катеты 5 и 9 вместе составляют сторону 14 исходного треугольника.
То есть высота к стороне 14 равна 12.
Итак, площадь треугольника S = 14*12/2 = 84;
Полупериметр равен (13 + 14 + 15)/2 = 21;
Поэтому радиус вписанной окружности равен r = 84/21 = 4;
Сечение шара плоскостью треугольника как раз и дает нам круг, ограниченный вписанной окружностью. При этом радиус этой окружности r, расстояние d от центра до плоскости сечения (до плоскости треугольника) и радиус шара R связаны теоремой Пифагора.
R^2 = r^2 + d^2;
Отсюда d = 3; (тут Пифагорова тройка 3,4,5)