Основанием пирамиды MABCD служит ромб ABCD, АС = 8, BD = 6. Высота пирамиды равна 1. Все двугранные углы при основании равны. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1. пусть апофема l и угол между апофемой и плоскостью основания в 30° тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности, r = l*cos(30°) = l√3/2 Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30) r/(a/2) = tg(30°) = 1/√3 2r√3=a 2*l√3/2*√3=a 3l = a l = 1/3a Апофема равна одной трети основания Площадь боковой поверхности S = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^2 1/2 a^2 = 50 a^2 = 100 a = 10 см 2 длина малой диагонали основания по теореме косинусов l^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5 l = √5 Если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипеда l*h = √15 h = √3 Объём параллелепипеда V=1*2√2*sin(45)*h = 2√3
Построено сечение с учётом расположения линий в каждой плоскости.
Длины линий сечения.
AE = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5.
Длину В1К находим из пропорции (В1К/8 = (8/(8+4)),
отсюда В1К = (8*8)/12 = 16/3.
Тогда ЕК = √(4² + (16/3)²) = √(400/9) = 20/3.
KP = √((8 - (16/3))² + 4²) = √(208/9) = (4/3)√13.
Длину СТ находим из пропорции.
Так как СМ = КС1 = 8 / (16/3) = 8/3, то СМ/СТ = (ВМ/АВ.
Подставим данные. (8/3)/СТ = (8 + (8/3)/8. Получаем СТ = 2.
РТ = √(4² + 2²) = √20 = 2√5.
ДТ = 8 - 2 = 6.
АТ = √(8² + 6²) = 10.
ответ: Р = 4√5 + (20/3) + ((4/3)√13) + (2√5) + 10 =
= 6√5 + (20/3) + ((4/3)√13) + 10.
тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности,
r = l*cos(30°) = l√3/2
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30)
r/(a/2) = tg(30°) = 1/√3
2r√3=a
2*l√3/2*√3=a
3l = a
l = 1/3a
Апофема равна одной трети основания
Площадь боковой поверхности
S = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^2
1/2 a^2 = 50
a^2 = 100
a = 10 см
2
длина малой диагонали основания по теореме косинусов
l^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5
l = √5
Если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипеда
l*h = √15
h = √3
Объём параллелепипеда
V=1*2√2*sin(45)*h = 2√3