Если гипотенуза АВ параллельна оси Ох, то точки А и В - противоположные. A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1 Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1 |AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 |BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 По теореме Пифагора |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2 x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0 2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0 x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0 (y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2 Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2 (x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2 Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1. (x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1 Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит, y1 - y2 = 1 Но разность ординат - это и есть высота треугольника.
Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1
Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1
|AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2
|BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2
По теореме Пифагора
|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2
(x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2
x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0
2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0
x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0
(y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2
Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2
(x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2
Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1.
(x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1
Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит,
y1 - y2 = 1
Но разность ординат - это и есть высота треугольника.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301