Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что △АОС = △BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 115°, ∠AOC = 20°.

Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма,

           ΔАВС: АВ = ВС = b, ∠ВАС = α,

           ∠АА₁С = φ.

           Цилиндр вписан в призму.

Найти: Объем цилиндра.

Если цилиндр вписан в призму, то основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высоты равны.

Радиус основания цилиндра - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Пусть ВН - высота ΔАВС. А так как он равнобедренный, то и медиана.

ΔВСН: СН = ВС · cosα = b · cosα.

AH = CH = b·cosα

AC = 2b·cosα

Центр вписанной окружности - точка О - точка пересечения биссектрис.

АО - биссектриса угла А, ОН - радиус вписанной окружности,  ∠ОАН = α/2.

ΔАОН:   ОН = АН · tg(α/2)

              r = b·cosα · tg(α/2)

ΔAA₁C: AA₁ = AC · ctg φ - высота призмы и цилиндра,

            h = 2b·cosα · ctgφ

Vцил = πr²h

Vцил = π ·  (b·cosα · tg(α/2))² ·  2b·cosα · ctgφ

Vцил = 2b³π·cos³α · tg²(α/2) · ctgφ

Пусть а см - самая коротка сторона. Тогда средняя сторона равна (а + 10) см, а самая длинна - (а + 20) см. В прямоугольном треугольнике самая длинная сторона - гипотенуза, а две другие - катеты. Используя теорему Пифагора, получим уравнение:
а² + (а + 10)² = (а + 20)²
а² + а² + 20а + 100 = а² + 40а + 400
2а² - а² + 20а - 40а + 100 - 400 = 0
а² - 20а - 300 = 0
По обратной теореме Виета:
а1 + а2 = 20
а1•а2 = -300
а1 = 30
а2 = -10 - не уд. условию задачи.
Значит, меньший катет равен 30 см.
Тогда больший катет равен 30 + 10 = 40 см, а гипотенуза - 50 см.
ответ: 50 см.