Отрезок DP- биссектриса треугольника ADC. Через точку P проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке T. Найдите углы треугольника DTP, если угла ADC=86 градусов
Пусть в тр-ках авс и а (1)в (1)с (1) 1) равны медианы вк и в (1)к (1) , 2) угол авк =углу а (1)в (1)к (1) 3) угол свк = углу с (1)в (1)к (1) доказать, что тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) доказательство в тр-ке авс продолжим медиану вк и отложим км =вк и точку м соединим с точками а и с аналогичные построения сделаем в тр-ке а (1)в (1)с (1), тогда вм =в (1)м (1) 1) тр-к акв =тр-ку скм ( по двум сторонам вк=км и ак=кс и углу между ними -они вертикальные) 2) аналогично тр-к а (1)к (1)в (1) =тр-ку с (1)к (1)м (1) отсюда следует 3) ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), < авм = < вмс =< а (1)в (1)м (1) = < в (1)м (1)с (1) 4) тогда тр-к всм = тр-ку в (1)с (1)м (1) по стороне вм =в (1)м (1) и двум прилежащим углам 5) отсюда вс =в (1)с (1) и ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), 6) проэтому тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) по двум сторонам и углу между ними второй способ состоит в том, что по теореме " площадь тр-ка равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними выражают стороны ав и вс через медиану вк и углы авк и свк применяя соотношение s (авс) = s (авк) + s (свк) и доказывают, что ав= а (1)в (1) и вс= в (1)с (1)
Все, что курсивом - "теория", нужная для решения. В конце - само решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми в общем случае находится так. Надо найти две параллельные плоскости, каждая из который содержит одну из прямых. Расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием. Плоскость A1DC1 содержит прямую DC1. Треугольник A1DC1 - равносторонний, что означает, что трехмерная фигура D1A1DC1 - правильная треугольная пирамида, и вершина D1 проектируется на основание A1DC1 в центр K правильного треугольника A1DC1, то есть D1K перпендикулярно плоскости A1DC1 (это - высота пирамиды). Кроме того, фигура BA1DC1 - тоже правильная треугольная пирамида (это - вообще правильный тетраэдр, все его ребра равны), и поэтому BK - высота этого тетраэдра к грани A1DC1, то есть BK перпендикулярно A1DC1. Через точку K можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости A1DC1, и на этой прямой лежат точки B и D1. То есть, доказано, что плоскость A1DC1 перпендикулярна диагонали куба BD1. Точно также можно доказать, что BD1 перпендикулярно плоскости AB1C, и поэтому плоскости AB1C и A1DC1 параллельны. Но параллельность этих плоскостей и так очевидна, поскольку A1C1 II AC; A1D II B1C; и разумеется, AB1 II DC1; но для доказательства параллельности достаточно указать две пары параллельных прямых. Однако то, что обе эти плоскости перпендикулярны диагонали BD1 - важно. Если рассмотреть внимательнее тетраэдр BA1DC1, можно заметить, что плоскость AB1C пересекает "боковое ребро" BA1 в середине (диагонали квадрата A1B и AB1 делятся точкой пересечения пополам), поэтому сечение тетраэдра BA1DC1, параллельное грани тетраэдра A1DC1, - это такая "средняя плоскость", то есть она разделит пополам и остальные боковые ребра (BD и BC1, что можно увидеть и так) и, главное - высоту BK (по теореме Фалеса). Аналогично можно показать, что плоскость A1DC1 делит пополам высоту тетраэдра D1AB1C. Если обозначить K1 - центр треугольника AB1C, то получается D1K1 = KK1 = K1B; Все это - длинная теория, которую труднее набрать, чем понять. Поскольку KK1 - отрезок прямой BD1, перпендикулярной обеим плоскостям A1DC1 и AB1C, то это и есть расстояние между этими плоскостями, а заодно - и расстояние между скрещивающимися прямыми DC1 и CB1. Длина диагонали BD = 2√3, KK1 = 2√3/3;
Расстояние между скрещивающимися прямыми в общем случае находится так. Надо найти две параллельные плоскости, каждая из который содержит одну из прямых. Расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием.
Плоскость A1DC1 содержит прямую DC1. Треугольник A1DC1 - равносторонний, что означает, что трехмерная фигура D1A1DC1 - правильная треугольная пирамида, и вершина D1 проектируется на основание A1DC1 в центр K правильного треугольника A1DC1, то есть D1K перпендикулярно плоскости A1DC1 (это - высота пирамиды).
Кроме того, фигура BA1DC1 - тоже правильная треугольная пирамида (это - вообще правильный тетраэдр, все его ребра равны), и поэтому BK - высота этого тетраэдра к грани A1DC1, то есть BK перпендикулярно A1DC1.
Через точку K можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости A1DC1, и на этой прямой лежат точки B и D1.
То есть, доказано, что плоскость A1DC1 перпендикулярна диагонали куба BD1.
Точно также можно доказать, что BD1 перпендикулярно плоскости AB1C, и поэтому плоскости AB1C и A1DC1 параллельны. Но параллельность этих плоскостей и так очевидна, поскольку A1C1 II AC; A1D II B1C; и разумеется, AB1 II DC1; но для доказательства параллельности достаточно указать две пары параллельных прямых. Однако то, что обе эти плоскости перпендикулярны диагонали BD1 - важно.
Если рассмотреть внимательнее тетраэдр BA1DC1, можно заметить, что плоскость AB1C пересекает "боковое ребро" BA1 в середине (диагонали квадрата A1B и AB1 делятся точкой пересечения пополам), поэтому сечение тетраэдра BA1DC1, параллельное грани тетраэдра A1DC1, - это такая "средняя плоскость", то есть она разделит пополам и остальные боковые ребра (BD и BC1, что можно увидеть и так) и, главное - высоту BK (по теореме Фалеса).
Аналогично можно показать, что плоскость A1DC1 делит пополам высоту тетраэдра D1AB1C. Если обозначить K1 - центр треугольника AB1C, то получается D1K1 = KK1 = K1B;
Все это - длинная теория, которую труднее набрать, чем понять.
Поскольку KK1 - отрезок прямой BD1, перпендикулярной обеим плоскостям A1DC1 и AB1C, то это и есть расстояние между этими плоскостями, а заодно - и расстояние между скрещивающимися прямыми DC1 и CB1.
Длина диагонали BD = 2√3, KK1 = 2√3/3;