1. Опустим перпендикуляр МО из точки М на плоскость α. Это и есть искомое расстояние. Треугольники АМО и ВМО прямлугольные, так как МО - перпендикуляр к плоскости α. АО=х, ВО=7х (дано). По Пифагору: в треугольнике АМО катет МО²=АМ²-АО² (1), в треугольнике ВМО катет МО²= ВМ²-ВО² (2). Приравняем (1) и (2): 144-х² = 576 - 49х² => 48х² = 432 => x² = 9. Подставим это значение в (1): МО²= 144-9=135. МО = √135 = 3√15 см.
ответ: расстояние от точки М до плоскости МО = 3√15 см.
2. Соединим точку М с вершинами правильного треугольника АВС. Получится правильная пирамида МАВС с вершиной в точке М. Точка М проецируется в центр О основания пирамиды (правильного треугольника), так как МА==МВ=МС (дано). Точка О является центром вписанной и описанной окружностей правильного треугольника (свойство). Радиус вписанной окружности, выраженный через сторону, равен r= (√3/6)*a, где "а" - сторона треугольника. В нашем случае r= МО =(√3/6)*12 = 2√3см. Радиус вписанной в треугольник окружности перпендикулярен к его сторонам, так как стороны являются касательными к вписанной окружности. По теореме о трех перпендикулярах отрезок МН также перпендикулярен этой стороне, то есть МН - искомое расстояние от точки М до стороны (любой) треугольника (его апофема). По Пифагору из треугольника МОН имеем МН=√(МО²+ОН²) = √(36+12) =4√3см.
ответ: искомое расстояние от точки М до сторон треугольника равно 4√3см.
3. В правильном треугольнике стороны равны. Расстояние от точки М до стороны ВС треугольника - это перпендикуляр МН из точки М к стороне ВС. По теореме о трех перпендикулярах основание Н высоты правильного треугольника АВС, опущенной из вершины А на сторону ВС и оснрвание перпендикуляра МН - это одна и та же точка. Следовательно, искомое расстояние МН можно найти по Пифагору из прямоугольного треугольника АМН,как гипотенузу, зная, что катет МА=2см(дано), а катет АН (высота правильного треугольника АВС) по формуле равен АН=(√3/2)*АВ=(√3/2)*4=2√3см. МН = √(МА²+АН²) = √(4+12) = 4см.
ответ: расстояние от точки М до стороны ВС равно 4см.
Равнобедренного может? Если да , то вот . В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны. Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB - биссектрисы треугольника ABC - равны. Теорема доказана. Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны. Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.
1. Опустим перпендикуляр МО из точки М на плоскость α. Это и есть искомое расстояние. Треугольники АМО и ВМО прямлугольные, так как МО - перпендикуляр к плоскости α. АО=х, ВО=7х (дано). По Пифагору: в треугольнике АМО катет МО²=АМ²-АО² (1), в треугольнике ВМО катет МО²= ВМ²-ВО² (2). Приравняем (1) и (2): 144-х² = 576 - 49х² => 48х² = 432 => x² = 9. Подставим это значение в (1): МО²= 144-9=135. МО = √135 = 3√15 см.
ответ: расстояние от точки М до плоскости МО = 3√15 см.
2. Соединим точку М с вершинами правильного треугольника АВС. Получится правильная пирамида МАВС с вершиной в точке М. Точка М проецируется в центр О основания пирамиды (правильного треугольника), так как МА==МВ=МС (дано). Точка О является центром вписанной и описанной окружностей правильного треугольника (свойство). Радиус вписанной окружности, выраженный через сторону, равен r= (√3/6)*a, где "а" - сторона треугольника. В нашем случае r= МО =(√3/6)*12 = 2√3см. Радиус вписанной в треугольник окружности перпендикулярен к его сторонам, так как стороны являются касательными к вписанной окружности. По теореме о трех перпендикулярах отрезок МН также перпендикулярен этой стороне, то есть МН - искомое расстояние от точки М до стороны (любой) треугольника (его апофема). По Пифагору из треугольника МОН имеем МН=√(МО²+ОН²) = √(36+12) =4√3см.
ответ: искомое расстояние от точки М до сторон треугольника равно 4√3см.
3. В правильном треугольнике стороны равны. Расстояние от точки М до стороны ВС треугольника - это перпендикуляр МН из точки М к стороне ВС. По теореме о трех перпендикулярах основание Н высоты правильного треугольника АВС, опущенной из вершины А на сторону ВС и оснрвание перпендикуляра МН - это одна и та же точка. Следовательно, искомое расстояние МН можно найти по Пифагору из прямоугольного треугольника АМН,как гипотенузу, зная, что катет МА=2см(дано), а катет АН (высота правильного треугольника АВС) по формуле равен АН=(√3/2)*АВ=(√3/2)*4=2√3см. МН = √(МА²+АН²) = √(4+12) = 4см.
ответ: расстояние от точки М до стороны ВС равно 4см.
В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB - биссектрисы треугольника ABC - равны. Теорема доказана.
Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.