Теория- прямоугольные треугольники. В основании прямоугольник. Диагональ АС делит его на два прямоугольных треугольника По теореме Пифагора АС²=AD²+DC²=12²+5²=144+25=169=13² АС=13 Треугольник АСС₁ - прямоугольный. Ребро СС₁ ⊥ плоскости основания ABCD, а значит перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания - угол между диагональю АС₁ и её проекцией на плоскость АВСD. А проекцией будет диагональ АС. Значит в прямоугольном треугольнике АСС₁ острый угол 45°, второй острый угол тоже 45°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90° Треугольник АСС₁ - прямоугольный равнобедренный, АС=СС₁=13
Сначала доказываем подобие треугольников ВСН и АСН (по двум углам). Это очевидно, поскольку угол АНС и угол ВНС будут прямыми, а угол АСН = углу НВС (из треугольника АВС угол НВС = 90 - угол САВ, из треугольника АСН следует, что угол АСН = 90 - угол САВ (он же угол САН)). Так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). Поэтому коэффициент подобия треугольников АСН и ВСН равен 1/3. Из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: АН/СН = СН/ВН = АС/ВС = 1/3 Нас интересует последнее соотношение, дающее нам катеты исходного прямоугольного треугольника АВС. Пусть АС = х, то ВС = 3х, и по т. Пифагора имеем: х² + 9х² = (2√5)² 10х² = 20 х = √2 АС = √2, ВС = 3√2 Площадь треугольника АВС равна половине произведения катетов: 1/2×√2×3√2 = 3 ответ: 3
По теореме Пифагора
АС²=AD²+DC²=12²+5²=144+25=169=13²
АС=13
Треугольник АСС₁ - прямоугольный. Ребро СС₁ ⊥ плоскости основания ABCD, а значит перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости
Угол между диагональю АС₁ и плоскостью основания - угол между диагональю АС₁ и её проекцией на плоскость АВСD. А проекцией будет диагональ АС.
Значит в прямоугольном треугольнике АСС₁ острый угол 45°, второй острый угол тоже 45°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°
Треугольник АСС₁ - прямоугольный равнобедренный, АС=СС₁=13
Так как эти треугольники подобны, то подобны и их соответственные элементы (в нашем случае биссектрисы). Поэтому коэффициент подобия треугольников АСН и ВСН равен 1/3.
Из подобия следует соотношение сторон этих треугольников: АН/СН = СН/ВН = АС/ВС = 1/3
Нас интересует последнее соотношение, дающее нам катеты исходного прямоугольного треугольника АВС.
Пусть АС = х, то ВС = 3х, и по т. Пифагора имеем:
х² + 9х² = (2√5)²
10х² = 20
х = √2
АС = √2, ВС = 3√2
Площадь треугольника АВС равна половине произведения катетов:
1/2×√2×3√2 = 3
ответ: 3