перпендикуляри проведені з точки перетину діагоналей прямокутника до 2 його суміжних сторін дорівнюють 5 сантиметрів і 7 сантиметрів , визначити периметр прямокутника

В прямоугольном треугольнике гипотенуза BC равна 20, катет AB равен 16. Найдите квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C.

Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром, проведенным от этой точки до прямой.
Сделаем рисунок. 
Пусть биссектриса угла С будет СК.
Биссектриса треугольника (любого) делит противоположную сторону в 
отношении длин прилежащих сторон.
⇒ АК:КВ=АС:ВС=12:20=3/5
⇒АК=АВ:(3+5)*3
АК=6
Рассмотрим ⊿КАС
КС - гипотенуза 
КС=√(АК²+АС²)=√180=6√5
АН можно найти из ⊿АНК.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное
 между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом высотой
АК²=КН*КС
36=КН*6√5
КН=36:6√5=6:√5
АН²=АК²-КН²
АН²=36-(36:5)=144/5=28,8
ответ: квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C равен 28,8 

Данная фигура вращения представляет собой  усеченный конус, из которого "вырезали" другой конус.
 Ясно, что площадь фигуры вращения составлена из: 
1)боковой поверхности усеченного конуса с радиусом основания, равным 5 см - меньшей стороне данного треугольника - и образующей, противолежащей углу 60°. 

2) площади основания - круга с радиусом 5 см- меньшей стороны треугольника

3) площади боковой поверхности "вырезанного" конуса с образующей СВ=8 см и радиусом основания, противолежащим углу, дополняющему данный угол до 90° 
Этот угол равен 90°-60°=30°, и радиус основания "вырезанного" конуса, как противолежащий этому углу,  равен половине ВС=8:2=4 см

 АС- образующая усеченного конуса.
По т. косинусов
АС²=ВС²+АВ²-2АВ*СВ*cos(60°)
АС²=64+25-2*5*8*1/2АС²=89-40=49
АС=7
------
1) S бок усеч=πL(R+r) 
2) S осн=πr² 
3) S бок=πrL
Вычисления даны во вложении. Но они очень простые,  по приведенным формулам их можно сделать самостоятельно за минуту
.---------
[email protected]