Проще всего представить треугольник АВС равнобедренным с основанием в 10 см и высотой в 5 см. Боковые стороны равны по 5√2 см. Тогда его площадь соответствует заданию: S = (1/2)*10*5 = 25 см². Углы при основании равны 45 градусов, при вершине - 90 градусов. По заданию АР = (4/5)*5√2 = 4√2 см. PB = (1/5)*5√2 = √2 см. BQ = AP = 4√2 см, QC = PB = √2 см. RC = (4/5)*10 = 8 см, AR = 10 - 8 = 2 см. Теперь можно определить длины сторон искомого треугольника PQR. PQ = √(√2)²+(4√2)²) = √(2+32) = √34 ≈ 5,83095189 см. PR = √(2²+(4√2)²-2*2*4√2*cos45°) = √20 = 2√5 ≈ 4,472136 см. RQ = √((√2)²+8²-2*√2*8*cos45°) = √50 ≈ 7,0710678 см. Теперь по формуле Герона находим площадь треугольника PQR. S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). где р - полупериметр, р = 8,6870778 см. Подставив данные, получаем S = 13 см².
Прямые АР и B1D - скрещивающиеся, так как лежат в разных плоскостях и не пересекаются. Цитаты: "Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся". Построение: Проведем прямую КL через точку D параллельно АР. В точках пересечения этой прямой с продолжениями ребер ВА и ВС получим точки L и K соответственно. Соединив точки К, В1 и L, получим сечение КВ1L, параллельное прямой АР. Таким образом, искомое расстояние - это расстояние от прямой АР до плоскости КВ1L, а искомый угол - угол KDB1. Проведем DO⊥РA до пересечения с ребром АВ а точке М. Из точки М восстановим перпендикуляр МТ до пересечения с линией сечения ВL. Тогда плоскость DTM перпендикулярна плоскости основания и плоскости сечения, а перпендикуляр ОН в прямоугольном треугольнике DQO - искомое расстояние между прямыми B1D и АР. а) По условию: Из треугольников АРВ, DCB и DBB1 по Пифагору: AP=a√5, DB=2a√2, DB1=2a√3. Из подобия треугольников NPB и NAD: BN/ND=PN/NA=PB/DA=1/2. DN=(2/3)*DB=4a√2/3. AN=(2/3)AP=2a√5/3. Площадь треугольника ADN: Sadn=(1/2)*DN*DA*Sin45. Или Sadn=4a²/3. Sadn=(1/2)*AN*DO, отсюда DO=2S/AN=4a/√5. OA=√(DA²-DO²)=√(4a²-16a²/5)=√[(20a²-16a²)/5]=2a/√5. ΔDAO~ΔAOM, так как <OAM=<AMO (соответтвенные стороны взаимно перпендикулярны: АМ⊥AD и MO⊥AO). Тогда AM/DA=AO/DO, AM=DA*AO/DO=a, и АМ=МВ=а => DM=AP=a√5. DK(KL)║AP по построению. Треугольник PBN подобен ΔKBD, а ΔBNA подобен ΔDBL и BP/BK=BN/BD=1/3. BK=3a. BL=6a. AL=4a. LM=5a. ΔLMT подобен ΔLBB1. MT/BB1=LM/LB, MT=LM*BB1/LB. MT=5a*2a/6a=5a/3. DM/DO=MT/OQ. OQ=MT*DO/DM=(5a/3)*(4a/√5)/a√5=4a/3. DQ=√(DO²+OQ²)=√(16a²/5+16a²/9)=4a√14/(3√5). ОН=DO*OQ/DQ или ОН=(4a/√5)*(4a/3)/[4a√14/(3√5)]=4a/√14=2a√14/7. ответ: расстояние равно 2a√14/7.
б) Угол KDB1 - искомый угол между прямыми B1D и АР. KB=3a. KB1=√(KB²+BB1²)=√(9a²+4a²)=a√13. DB1=2a√3. KD=√(KC²+DC²)=√(a²+4a²)=a√5. По теореме косинусов: Cosα=(KD²+DB1²-KB1²)/(2*KD*DB1). Cosα=(5a²+12a²-13a²)/(2*a√5*2a√3)=1/√15. ответ: угол α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.
Координатный метод: Поместим начало координат в вершину А. Вектор АР{2a;a;0}, |AP|=√(4a²+a²+0)=a√5. Вектор B1D{-2a;2a;-2a}, |В1D|=√(4a²+4a²+4a²)=a√12=2a√3. cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)] cosα=(-4a²+2a²+0)/(a√5*2a√3]=-2a²/2a²√15= -1/√15. ответ: α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.
Имеем точки А и D и направляющие вектора прямых B1D и АР: А(0;0;0); n1{2a;a;0} (1) и D(0;2a;0); n2{-2a;2a;-2a}. Есть формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми: d(a;b)=|(n1*n2*M1M2)|/|n1*n2| где произведения - это произведения векторов, а М1 и М2 - произвольные точки этих прямых - в нашем случае точки А и D. Находим смешанное произведение векторов: (n1*n2*M1M2)=|2a -2a 0| |a 2a 2a| |0 -2a 0| = 2a(4a²)-a*0-0*4a=8a³. Произведение векторов n1 и n2: n1*n2=| i j k | | 2a a 0 | |-2a 2a -2a| = i(-2a²-0)-j(-4a²)+k(4a²+2a²) = -2a²i+4a²j+6a²k. Модуль |n1n2|=√(4a+16a+36a)=a²√56. Тогда искомое расстояние равно 8a³/a²√56 =a*4/√14=2a√14/7.
Боковые стороны равны по 5√2 см.
Тогда его площадь соответствует заданию:
S = (1/2)*10*5 = 25 см².
Углы при основании равны 45 градусов, при вершине - 90 градусов.
По заданию АР = (4/5)*5√2 = 4√2 см.
PB = (1/5)*5√2 = √2 см.
BQ = AP = 4√2 см,
QC = PB = √2 см.
RC = (4/5)*10 = 8 см,
AR = 10 - 8 = 2 см.
Теперь можно определить длины сторон искомого треугольника PQR.
PQ = √(√2)²+(4√2)²) = √(2+32) = √34 ≈ 5,83095189 см.
PR = √(2²+(4√2)²-2*2*4√2*cos45°) = √20 = 2√5 ≈ 4,472136 см.
RQ = √((√2)²+8²-2*√2*8*cos45°) = √50 ≈ 7,0710678 см.
Теперь по формуле Герона находим площадь треугольника PQR.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). где р - полупериметр, р = 8,6870778 см.
Подставив данные, получаем S = 13 см².
Цитаты: "Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся".
Построение:
Проведем прямую КL через точку D параллельно АР.
В точках пересечения этой прямой с продолжениями ребер ВА и ВС получим точки L и K соответственно. Соединив точки К, В1 и L, получим сечение КВ1L, параллельное прямой АР. Таким образом, искомое расстояние - это расстояние от прямой АР до плоскости КВ1L, а искомый угол - угол KDB1.
Проведем DO⊥РA до пересечения с ребром АВ а точке М.
Из точки М восстановим перпендикуляр МТ до пересечения с линией
сечения ВL. Тогда плоскость DTM перпендикулярна плоскости основания и плоскости сечения, а перпендикуляр ОН в прямоугольном треугольнике DQO - искомое расстояние между прямыми B1D и АР.
а) По условию:
Из треугольников АРВ, DCB и DBB1 по Пифагору:
AP=a√5, DB=2a√2, DB1=2a√3.
Из подобия треугольников NPB и NAD:
BN/ND=PN/NA=PB/DA=1/2.
DN=(2/3)*DB=4a√2/3.
AN=(2/3)AP=2a√5/3.
Площадь треугольника ADN:
Sadn=(1/2)*DN*DA*Sin45. Или Sadn=4a²/3.
Sadn=(1/2)*AN*DO, отсюда DO=2S/AN=4a/√5.
OA=√(DA²-DO²)=√(4a²-16a²/5)=√[(20a²-16a²)/5]=2a/√5.
ΔDAO~ΔAOM, так как <OAM=<AMO (соответтвенные стороны взаимно перпендикулярны: АМ⊥AD и MO⊥AO). Тогда
AM/DA=AO/DO, AM=DA*AO/DO=a, и АМ=МВ=а => DM=AP=a√5.
DK(KL)║AP по построению.
Треугольник PBN подобен ΔKBD, а ΔBNA подобен ΔDBL и
BP/BK=BN/BD=1/3.
BK=3a. BL=6a. AL=4a. LM=5a.
ΔLMT подобен ΔLBB1.
MT/BB1=LM/LB, MT=LM*BB1/LB.
MT=5a*2a/6a=5a/3.
DM/DO=MT/OQ.
OQ=MT*DO/DM=(5a/3)*(4a/√5)/a√5=4a/3.
DQ=√(DO²+OQ²)=√(16a²/5+16a²/9)=4a√14/(3√5).
ОН=DO*OQ/DQ или ОН=(4a/√5)*(4a/3)/[4a√14/(3√5)]=4a/√14=2a√14/7.
ответ: расстояние равно 2a√14/7.
б) Угол KDB1 - искомый угол между прямыми B1D и АР.
KB=3a. KB1=√(KB²+BB1²)=√(9a²+4a²)=a√13.
DB1=2a√3. KD=√(KC²+DC²)=√(a²+4a²)=a√5.
По теореме косинусов:
Cosα=(KD²+DB1²-KB1²)/(2*KD*DB1).
Cosα=(5a²+12a²-13a²)/(2*a√5*2a√3)=1/√15.
ответ: угол α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.
Координатный метод:
Поместим начало координат в вершину А.
Вектор АР{2a;a;0}, |AP|=√(4a²+a²+0)=a√5.
Вектор B1D{-2a;2a;-2a}, |В1D|=√(4a²+4a²+4a²)=a√12=2a√3.
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]
cosα=(-4a²+2a²+0)/(a√5*2a√3]=-2a²/2a²√15= -1/√15.
ответ: α=arccos(1/√15). α ≈ 75°.
Имеем точки А и D и направляющие вектора прямых B1D и АР:
А(0;0;0); n1{2a;a;0} (1) и D(0;2a;0); n2{-2a;2a;-2a}.
Есть формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
d(a;b)=|(n1*n2*M1M2)|/|n1*n2| где произведения - это произведения векторов, а М1 и М2 - произвольные точки этих прямых - в нашем случае точки А и D.
Находим смешанное произведение векторов:
(n1*n2*M1M2)=|2a -2a 0|
|a 2a 2a|
|0 -2a 0| = 2a(4a²)-a*0-0*4a=8a³.
Произведение векторов n1 и n2:
n1*n2=| i j k |
| 2a a 0 |
|-2a 2a -2a| = i(-2a²-0)-j(-4a²)+k(4a²+2a²) = -2a²i+4a²j+6a²k.
Модуль |n1n2|=√(4a+16a+36a)=a²√56.
Тогда искомое расстояние равно 8a³/a²√56 =a*4/√14=2a√14/7.