В трапеции основания АД и ВС равны 36 и 12, а сумма углов при основании АД равна 90º
Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СД, если АВ=10
Для успешного решения задачи очень важно сделать правильный рисунок.
Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º. Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД Рассмотрим рисунок.
Не составит труда доказать, что треугольники ВКС и АКД - подобны. ∠ К в них - общий,
ВС||АД,
∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей. Коэффициент подобия АД:ВС=36:12=3 Тогда АК:ВК=3 АК=АВ+ВК (АВ+ВК):ВК=3 (10+ВК):ВК+3
10+ВК=3ВК 2ВК=10 ВК=5 Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М. Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны. Рассмотрим треугольник АОВ.
Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны. Треугольник АОВ - равнобедренный. Проведем в нем высоту ОН.
Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, в случае правильной четырехугольной призмы - основанием призмы является квадрат. Правильная четырехугольная призма - прямоугольный параллелепипед. Пусть данная призма - АВСДА₁В₁С₁Д₁ Сделаем рисунок. (Во втором рисунке призма «уложена" на боковую грань для большей наглядности. ) Решение. АВ ⊥ ВС1 (если прямая перпендикуляра плоскости, она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости). Диагональ АС₁ - гипотенуза прямоугольного треугольника АВС₁ Тогда АВ, сторона основания, противолежащая углу 30º, равна половине АС₁ АВ=ВС=СД=ДА=2 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. D²=а²+b²+c²16=2²+2²+h²⇒ h²=16-8=8 h=√8=2√2 Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее основания на высоту. Р=4*2=8 см Ѕ бок=8*2√2=16√2 см² -------------. Высоту призмы можно найти иначе. а) Сначала найдем диагональ ВС₁ боковой грани- она равна АС₁·cos 30°=(4 √3):2=2 √3 Высоту h трапеции найдем по т. Пифагора из треугольника ВСС₁ h² =(2 √3)²+2²=12-4=8 h=2√2 ------- б) Тот же результат получим, найдя по т. Пифагора из треугольника АВС₁ диагональ ВС₁ боковой грани, затем из прямоугольного треугольника ВСС₁ высоту призмы СС₁.
В трапеции основания АД и ВС равны 36 и 12, а сумма углов при основании АД равна 90º
Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СД, если АВ=10
Для успешного решения задачи очень важно сделать правильный рисунок.
Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º.
Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД
Рассмотрим рисунок.
Не составит труда доказать, что треугольники ВКС и АКД - подобны.
∠ К в них - общий,
ВС||АД,
∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей.
Коэффициент подобия АД:ВС=36:12=3
Тогда АК:ВК=3
АК=АВ+ВК
(АВ+ВК):ВК=3
(10+ВК):ВК+3
10+ВК=3ВК
2ВК=10
ВК=5
Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М
Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны.
Рассмотрим треугольник АОВ.
Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны.
Треугольник АОВ - равнобедренный.
Проведем в нем высоту ОН.
Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).
Следовательно, НВ =5.
Рассмотрим четырехугольник НКМО.
Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.
МО - радиус окружности.
НК=НВ+ВК=5+5=10
МО=НК=10
Радиус окружности равен 10.
Правильная четырехугольная призма - прямоугольный параллелепипед.
Пусть данная призма - АВСДА₁В₁С₁Д₁
Сделаем рисунок. (Во втором рисунке призма «уложена" на боковую грань для большей наглядности. )
Решение.
АВ ⊥ ВС1 (если прямая перпендикуляра плоскости, она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости).
Диагональ АС₁ - гипотенуза прямоугольного треугольника АВС₁
Тогда АВ, сторона основания, противолежащая углу 30º, равна половине АС₁
АВ=ВС=СД=ДА=2
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
D²=а²+b²+c²16=2²+2²+h²⇒
h²=16-8=8
h=√8=2√2
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.
Р=4*2=8 см
Ѕ бок=8*2√2=16√2 см²
-------------.
Высоту призмы можно найти иначе.
а) Сначала найдем диагональ ВС₁ боковой грани- она равна АС₁·cos 30°=(4 √3):2=2 √3
Высоту h трапеции найдем по т. Пифагора из треугольника ВСС₁
h² =(2 √3)²+2²=12-4=8
h=2√2
-------
б) Тот же результат получим, найдя по т. Пифагора из треугольника АВС₁ диагональ ВС₁ боковой грани, затем из прямоугольного треугольника ВСС₁
высоту призмы СС₁.