Построил, в екселе, график зависимости площади круга от его радиуса. Добавил линии тренда (на рисунке: красная кривая - зависимость S от r; черные прямая и кривая это линейная и логарифмическая зависисмости тренда) которые дают 2 точки пересечения с графиком и, соотвественно, три области.
Во Что обозначают эти точки и области Построил, в екселе, график зависимости площади круга от его радиуса. Добавил линии тренда (на рисун">

Обозначим через ВК высоту, опущенную на сторону АС.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.

1.

S = S(сектора) - SΔ.

S(сектора) = (π·R²·60)/360 = π·R²/6.

SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·R²·(√3)/2 = R²·(√3)/4.

R = 12.

S(сектора) = π·12²/6 = π·(6·2)²/6 = π·6·4 = 24π

SΔ = 12²·(√3)/4 = (3·4)²·(√3)/4 = 9·4·(√3) = 36·(√3).

S = 24π - 36·(√3).

2.

S = S(сектора) - SΔ,

Косинус центрального угла найдем по т. косинусов.

12² = 20² + 20² - 2·20·20·cos(α) = 2·20²·(1 - cos(α)),

144 = 2·400·(1 - cos(α)),

1 - cos(a) = 144/800 = 3²·4²/(16·50) = 9/50 = 18/100 = 0,18

cos(a) = 1 - 0,18 = 0,82,

теперь найдем сам центральный угол:

a = arccos(0,82)

(в радианах).

S(сектора) = π·R²·arccos(0,82)/(2π) = (R²/2)·arccos(0,82).

R = 20,

S(сектора) = (20²/2)·arccos(0,82) = (400/2)·arccos(0,82) = 200·arccos(0,82).

Найдем синус центрального угла

sin(a) = √(1 - cos²(a)) = √(1 - 0,82²) = √(1 - 0,6724) = √0,3276 = √(3276/10000) =

= √(819/2500) = 3·√(91)/50

SΔ = (1/2)·20·20·sin(a) = 200·3·√(91)/50 = 4·3·√(91) = 12·√91.

S = S(сектора) - SΔ = 200·arccos(0,82) - 12·√91.

3.

S = S(сектора) - SΔ

R = 10

S(сектора) = π·R²·60/360 = π·R²/6 = π·10²/6 = 100π/6 = 50π/3.

SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·100·(√3)/2 = 25·√3,

S = (50π/3) - 25·√3,

5.

S = π·R₁² - π·R₂² = π·3,5² - π·1,5² = π·( (7/2)² - (3/2)²) = π·( (49 - 9)/4) = π·40/4 = 10π

6.

S = S(круга) - S(квадрата).

Найдем сторону квадрата по т. Пифагора.

R² + R² = a²,

R = 10,

a² = 2·R²

S(квадрата) = a² = 2R² = 2·10² = 200.

S(круга) = π·R² = π·10² = 100π,

S = 100π - 200.

7. Площадь сектора

S = π·R²·(360 - 60)/360 = π·R²·(300/360) = π·R²·5/6,

R = 8

S = π·8²·5/6 = π·64·5/6 = π·32·5/3 = 160π/3.