В квадрате АВСD точка К - середина стороны ВС, точка М - серидина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и МД перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е - точка пересечения прямых АК и МД) и АВК подобны. Треугольники СDN и АМD равны по двум сторонам и прямому углу между ними. Угол CND=углу АМD, угол АDМ=NCD Сумма углов ADM и АМD равны 90 градусов. Рассмотрим треугольник DNO. Угол OND=CND, угол АDМ=NCD. И в сумме они дают 90 градусов. Отсюда угол МOD = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов. Треугольники DNO и АMD подобны по трем углам, хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла. Найдем коэффициент подобия к=AD/OD=AM/ON=MD/ND т.к. по условию AD=2AM и АМ=АN=ND, то к=2AM/OD=AM/ON=MD/AM 2AM/OD=AM/ON, значит OD=2ON Площадь Δ DNO SΔ=36=OD*ON/2=2ON*ON/2=ON². ON=6 Тогда OD=2*6=12, а ND=√ON²+OD²=√36+144=√180=6√5 Сторона квадрата равна AB=BC=CD=AD=2*6√5=12√5 Площадь квадрата Sк=(12√5)²=720 Площадь AMCD= площадь квадрата Sк - площадь S ΔСВМ площадь S ΔСВМ=1/2*ВС*ВМ=1/2*12√5*6√5=180 Площадь AMCD=720-180=540
Угол С - прямой, угол А=30 град, АВ - гипотенуза, ВС - катет, лежащий напротив угла А=30 град. Найти ВС. Катет, лежащий напротив угла 30 град равен половине гипотенузы. Гипотенузу АВ принимаем за Х, тогда катет ВС=Х/2. S=АС*ВС / 2, т.е. 1058 корень из 3 = АС*ВС / 2. Находим АС по т.Пифагора: АС^2= АВ^2 - ВC^2= Х^2 - (Х/2)^2= Х^2 - Х^2 / 4. Отсюда, АС = Х*корень из 3 / 2. Теперь в формулу площади (см.выше) подставляем полученное значение АС и ВС. Преобразовав, получаем уравнение: корень из 3 * Х^2 / 8 = 1058 корень из 3. Отсюда, Х^2 = 8464, Х = -92 и Х = 92. Х= -92 не удовлетворяет условию, т.к. сторона не может иметь отрицательное значение длины, поэтому отбрасываем это значение. Итак, за Х мы принимали гипотенузу АВ, т.е.АВ=92, значит, катет ВС=Х/2 = 92/2=46.
Треугольники СDN и АМD равны по двум сторонам и прямому углу между ними.
Угол CND=углу АМD, угол АDМ=NCD
Сумма углов ADM и АМD равны 90 градусов.
Рассмотрим треугольник DNO.
Угол OND=CND,
угол АDМ=NCD. И в сумме они дают 90 градусов.
Отсюда угол МOD = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Треугольники DNO и АMD подобны по трем углам, хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла.
Найдем коэффициент подобия к=AD/OD=AM/ON=MD/ND
т.к. по условию AD=2AM и АМ=АN=ND, то к=2AM/OD=AM/ON=MD/AM
2AM/OD=AM/ON, значит OD=2ON
Площадь Δ DNO SΔ=36=OD*ON/2=2ON*ON/2=ON². ON=6
Тогда OD=2*6=12, а ND=√ON²+OD²=√36+144=√180=6√5
Сторона квадрата равна AB=BC=CD=AD=2*6√5=12√5
Площадь квадрата Sк=(12√5)²=720
Площадь AMCD= площадь квадрата Sк - площадь S ΔСВМ
площадь S ΔСВМ=1/2*ВС*ВМ=1/2*12√5*6√5=180
Площадь AMCD=720-180=540
Катет, лежащий напротив угла 30 град равен половине гипотенузы. Гипотенузу АВ принимаем за Х, тогда катет ВС=Х/2.
S=АС*ВС / 2, т.е. 1058 корень из 3 = АС*ВС / 2. Находим АС по т.Пифагора: АС^2= АВ^2 - ВC^2= Х^2 - (Х/2)^2= Х^2 - Х^2 / 4. Отсюда, АС = Х*корень из 3 / 2. Теперь в формулу площади (см.выше) подставляем полученное значение АС и ВС. Преобразовав, получаем уравнение: корень из 3 * Х^2 / 8 = 1058 корень из 3. Отсюда, Х^2 = 8464, Х = -92 и Х = 92. Х= -92 не удовлетворяет условию, т.к. сторона не может иметь отрицательное значение длины, поэтому отбрасываем это значение. Итак, за Х мы принимали гипотенузу АВ, т.е.АВ=92, значит, катет ВС=Х/2 = 92/2=46.