При паралельному перенесенні образом точки A(4;–2) є точка B(–1;7). Яка
точка є образом точки N(0;–4) при цьому паралельному перенесенні ?

Пусть РАВС - данная пирамида, Р-вершина, РО = √13 см - высота,
РА=РВ=РС=6 см

1. Рассмотрим Δ АОР - прямоугольный.
АО²+РО²=РА² - (по теореме Пифагора)
АО = √(РА²-РО²) = √(6² - (√13)²) = √(36-13) = √23 (см)

2. АО является радиусом описанной окружности.
R=(a√3) / 3
a= (3R) / √3 = (3√23)/√3  = √69 (см) - это длина стороны основы.

3. Находим периметр основы.
Р=3а
Р=3√69 см

4. Проводим РМ - апофему и находим ее.
Рассмотрим Δ АМР - прямоугольный.
АМ=0,5АВ=0,5√69 см
АМ²+РМ²=РА² - (по теореме Пифагора)
РМ = √(РА²-АМ²) = √(6² - (0,5√69)²) = √(36-17,25) = √18,75 = 2,5√3 (см)

5. Находим площадь боковой поверхности пирамиды.
Р = 1/2 Р₀l
Р = 1/2 · 3√69 · 2,5√3 = 3,75√207 = 3,75·3√23 = 11,25√23 (см²)

ответ. 11,25 √23 см².

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей.                                       Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.

AB и CD - хорды, перпендикулярны  прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей. 

AB||CD

Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О₁. 

Проведем радиусы r и R в точки касания. 

Проведем к О₁D отрезок ОК||BD. 

Т.к.  r ||R, и оба перпендикулярны ВD,  то ОКВD- прямоугольник. 

ОK=BD

О₁К=R-r=45-36=9

OO₁=R+r=45+36=81

Из ∆ OКО₁ по т.Пифагора

OК=√(81²-9²)=√6480=36√5

∠HBD=∠KOO₁- заключены между взаимно параллельными сторонами. 

∆ OKO₁ ~ ∆ BHD

cos∠KOO₁=OK/OO₁

cos∠HBD=cos∠KOO₁=(36√5):9=(4√5):9

BH=BD•cos∠HBD=(36√5)•(4√5):9=80 (ед. длины)