Про четырёхугольник ABCD известно, что AB=BD, ∠ABD=∠DBC, ∠BCD=90∘. На отрезке BC отмечена точка E такая, что AD=DE. Чему равна длина отрезка BD, если известно, что BE=7, EC=5?

Даны вершины пирамиды: А(21;0;0), В(42;0;0), С(21;-21;0), D(21;21;21).

Как видим, точки А, В и С находятся все в одной плоскости  хОу.

Поэтому ответ на вопрос высоты ДД1 решается легко: эта высота равна координате точки Д по оси Oz,то есть 21.

Для определения высоты СС1 надо определить объём пирамиды и площадь грани АВД.

1. Находим координаты векторов.

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}   21 0 0

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}   0 -21 0

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}   0 21 21.

Объем пирамиды равен смешанному произведению векторов:        

(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.

Произведение векторов      

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

Подставив значения координат векторов, получаем:

 2. Площади граней    

                                     a1 a2 a3           S =

ABC [AB ; AC]= 0 0 -441        220,5

АВD [AB ; AD]= 0 441  441         311,8341

3. Объем пирамиды  

                     x y z

AB*AC          0 0 -441

     AD          0 21   21

Произвед 0 0 -9261

V = (1/6) * 9261 = 1543,5.  

Отсюда находим высоту СС1.

СС1 = 3V/S(ABD) = (3*9261/6)/311,8341  = 14,8492.

Построение сечения:

Точки M и N принадлежат грани АВСD, соединяем эти точки и продолжаем прямую NM до пересечения с прямой, содержащей ребро АВ в точке Н и до пересечения с прямой, содержащей ребро AD в точке Т. Точки Н и К принадлежат одной плоскости, содержащей грань АА1В1В, проводим в этой плоскости прямую НК и получаем точку L на ребре ВВ1. Точки Т и К принадлежат одной плоскости, содержащей грань АА1D1D, проводим в этой плоскости прямую ТК и получаем точку Р на ребре DD1. Соединив точки K, L, M, N, P и K, получаем искомое сечение - пятиугольник KLMNP.