Прямоугольный треугольник разделен высотой, проведённой к гипотенузе, на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 5 см и 12 см. радиус окружности вписанной в треугольник равен….?
Δ АВС, Δ АСD и Δ ВСD подобны по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла к гипотенузе. Для удобства при вычислениях обозначим
длину АD равной х, длину СD равной у. Из подобия треугольников АСD и ВСD: х:5=у:12, По свойству пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов: 5у=12х отсюда у=12х/5. Найдем АС из треугольника АСD по теореме Пифагора: AC²=x²+y² AC²=x²+144x²/25 AC =√(x²+144x²/25)=13x/5
Обозначим искомый радиус вписанной в треугольник АВС окружности R Составим пропорцию отношения радиусов R и r вписанных окружностей и меньших катетов в подобных треугольниках АВС и АСD
Сделаем рисунок к задаче.
Δ АВС, Δ АСD и Δ ВСD подобны по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла к гипотенузе.
Для удобства при вычислениях обозначим
длину АD равной х,
длину СD равной у.
Из подобия треугольников АСD и ВСD:
х:5=у:12,
По свойству пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов:
5у=12х
отсюда
у=12х/5.
Найдем АС из треугольника АСD по теореме Пифагора:
AC²=x²+y²
AC²=x²+144x²/25
AC =√(x²+144x²/25)=13x/5
Обозначим искомый радиус вписанной в треугольник АВС окружности R
Составим пропорцию отношения радиусов R и r вписанных окружностей и меньших катетов в подобных треугольниках АВС и АСD
R:5=АС:х
R:5=(13x/5):х
Rх=5(13x/5)
R = 13 см