Дан АВ и перпендикуляр к плоскости а АС и АД наклонные проведённые по разные стороны от перпендикуляра. угол АСВ=30° угол АДВ=60° R= 3 в корне радиус окружности описанной вокруг треугольника АСД найдите АВ
1
СМОТРЕТЬ ОТВЕТ
ответ
4,0/5
12
elena20092
главный мозг
3.4 тыс. ответов
6 млн пользователей, получивших
АВ = 1,5
Объяснение:
Смотри рисунок на прикреплённом фото.
СD - линия пересечения пл-ти α и пл-ти ΔАCD.
По условию АВ⊥ α, следовательно , АВ ⊥ CD (линии пересечения)
∠АСB = 30° и ∠ADB = 60° , значит, в ΔACD ∠САD = 90° и вписанный в окружность ∠CAD опирается на диаметр СD = 2R = 2√3.
Пусть BD = x, тогда ВС = CD - BD = 2√3 - x.
Из ΔАСВ: tg 30° = AB/BC = 1/√3 или 1/√3 = АВ/(2√3 - х)
1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
ЗАДАЙ ВОПРОС
aikoaidolda avatar
aikoaidolda
12.12.2019
Алгебра
5 - 9 классы
ответ дан
Дан АВ и перпендикуляр к плоскости а АС и АД наклонные проведённые по разные стороны от перпендикуляра. угол АСВ=30° угол АДВ=60° R= 3 в корне радиус окружности описанной вокруг треугольника АСД найдите АВ
1
СМОТРЕТЬ ОТВЕТ
ответ
4,0/5
12
elena20092
главный мозг
3.4 тыс. ответов
6 млн пользователей, получивших
АВ = 1,5
Объяснение:
Смотри рисунок на прикреплённом фото.
СD - линия пересечения пл-ти α и пл-ти ΔАCD.
По условию АВ⊥ α, следовательно , АВ ⊥ CD (линии пересечения)
∠АСB = 30° и ∠ADB = 60° , значит, в ΔACD ∠САD = 90° и вписанный в окружность ∠CAD опирается на диаметр СD = 2R = 2√3.
Пусть BD = x, тогда ВС = CD - BD = 2√3 - x.
Из ΔАСВ: tg 30° = AB/BC = 1/√3 или 1/√3 = АВ/(2√3 - х)
2√3 - х = АВ · √3
х = 2√3 - АВ · √3 (1)
Из ΔАВD: tg60° = AB/BD = √3 или х = АВ/√3 (2)
Поставим (2) в (1)
АВ/√3 = 2√3 - АВ · √3
АВ = 6 - 3АВ
4АВ = 6
АВ = 1,5
Доказательства в объяснении.
Объяснение:
1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
Что и требовалось доказать