Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
ΔА₁АС: ∠A₁AC = 90°
sinβ = AA₁ / A₁C, ⇒ AA₁ = A₁C · sinβ,
AA₁ = a · sinβ
cosβ = AC / A₁C, ⇒ AC = A₁C · cosβ,
AC = a · cosβ.
Точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной окружности. Тогда для окружности, описанной около прямоугольника ABCD ∠АОВ - центральный, а ∠ACB - вписанный, опирающийся на ту же дугу, значит
∠АCB = 1/2 ∠AOB = α/2.
ΔABC: ∠ABC = 90°
sin∠ACB = AB / AC, ⇒ AB = AC · sin∠ACB,
AB = a · cosβ · sin(α/2),
cos∠ACB = BC / AC, ⇒ BC = AC · cos∠ACB,
BC = a · cosβ · cos(α/2).
Sбок = Pосн · AA₁
Sбок = (AB + BC) · 2 · AA₁
Sбок = (a · cosβ · sin(α/2) + a · cosβ · cos(α/2)) · 2 · a · sinβ =
СА и СВ - это отрезки касательных, проведённых из одной точки.
ОА и ВО - это радиусы, проведённые в точки касания прямых с окружностью. По св-ву этих особых радиусов мы знаем, что они перпендикулярны касательным. Т.е. углы САО и СВО = 90°.
Треугольник АВО р/б, т.к. АО и ВО - радиусы. Если один из углов при основании = 40, то и второй = 40. По сумме углов треугольника: 180-(40+40)=100° - угол АОВ.
САОВ - это четырёхугольник, в котором все углы в сумме дают 360°.
∠АСВ - это угол между касательными. Его можно найти, если вычесть из 360° сумму всех остальных трёх углов четырёхугольника.
∠АСВ = 360°-(90°*2+100°)=80°.
ответ: 80°.
Задача 2. (рисунок №1 во вложении).
Сразу скажу о свойстве диаметра (в нашем случае это радиус, но значения не имеет): диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Значит, СА = ВА = 20:2 = 10см.
Треугольник АСО прямоугольный, т.к. ∠АСО = 90°. Если один из острых углов прямоугольного треугольника = 45°, то и второй угол = 45°. Отсюда, ΔСАО равнобедренный, СА=СО=10см.
ответ: 10см.
Задача 3. (рисунок №2 во вложении).
Построение треугольника во вложении, а инструкция построения серединного перпендикуляра здесь:
ВС – отрезок, к которому требуется построить серединный перпендикуляр. Построим две окружности радиуса ВС с центрами С и B. Они пересекутся в двух точках – доустим, К и L. Проведем прямую КL. Она является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.
Объяснение:
Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
ΔА₁АС: ∠A₁AC = 90°
sinβ = AA₁ / A₁C, ⇒ AA₁ = A₁C · sinβ,
AA₁ = a · sinβ
cosβ = AC / A₁C, ⇒ AC = A₁C · cosβ,
AC = a · cosβ.
Точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной окружности. Тогда для окружности, описанной около прямоугольника ABCD ∠АОВ - центральный, а ∠ACB - вписанный, опирающийся на ту же дугу, значит
∠АCB = 1/2 ∠AOB = α/2.
ΔABC: ∠ABC = 90°
sin∠ACB = AB / AC, ⇒ AB = AC · sin∠ACB,
AB = a · cosβ · sin(α/2),
cos∠ACB = BC / AC, ⇒ BC = AC · cos∠ACB,
BC = a · cosβ · cos(α/2).
Sбок = Pосн · AA₁
Sбок = (AB + BC) · 2 · AA₁
Sбок = (a · cosβ · sin(α/2) + a · cosβ · cos(α/2)) · 2 · a · sinβ =
= a · cosβ(sin(α/2) + cos(α/2)) · 2 · a · sinβ =
= 2a²sinβ·cosβ(sin(α/2) + cos(α/2)) =
= a²sin2β (sin(α/2) + cos(α/2))
Задача 1.
Попытаюсь объяснить подробней)
СА и СВ - это отрезки касательных, проведённых из одной точки.
ОА и ВО - это радиусы, проведённые в точки касания прямых с окружностью. По св-ву этих особых радиусов мы знаем, что они перпендикулярны касательным. Т.е. углы САО и СВО = 90°.
Треугольник АВО р/б, т.к. АО и ВО - радиусы. Если один из углов при основании = 40, то и второй = 40. По сумме углов треугольника: 180-(40+40)=100° - угол АОВ.
САОВ - это четырёхугольник, в котором все углы в сумме дают 360°.
∠АСВ - это угол между касательными. Его можно найти, если вычесть из 360° сумму всех остальных трёх углов четырёхугольника.
∠АСВ = 360°-(90°*2+100°)=80°.
ответ: 80°.
Задача 2. (рисунок №1 во вложении).
Сразу скажу о свойстве диаметра (в нашем случае это радиус, но значения не имеет): диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Значит, СА = ВА = 20:2 = 10см.
Треугольник АСО прямоугольный, т.к. ∠АСО = 90°. Если один из острых углов прямоугольного треугольника = 45°, то и второй угол = 45°. Отсюда, ΔСАО равнобедренный, СА=СО=10см.
ответ: 10см.
Задача 3. (рисунок №2 во вложении).
Построение треугольника во вложении, а инструкция построения серединного перпендикуляра здесь:
ВС – отрезок, к которому требуется построить серединный перпендикуляр. Построим две окружности радиуса ВС с центрами С и B. Они пересекутся в двух точках – доустим, К и L. Проведем прямую КL. Она является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.