А) Пусть АН - высота треугольника, она же ось симметрии. Так как вершина А лежит на оси симметрии, она отобразится в себя (т.е. точка А' совпадет с А). Чтобы отобразить точку В относительно оси АН, надо построить из точки В луч, перпендикулярный АН, а это и есть прямая ВС. Затем на луче ВН откладываем отрезок НВ', равный ВН, по другую сторону от точки Н. На луче СН по другую сторону от точки Н откладываем отрезок НС', равный СН. ΔA'B'C' - искомый.
б) Пусть D - середина АВ. Проводим луч CD, на котором откладываем отрезок CA' = CD. На луче AD откладываем отрезок DA' = AD. Так как D - середина АВ, точка A' совпадет с точкой В. На луче BD откладываем отрезок DB' = BD. Так как D - середина АВ, точка В' совпадет с точкой А. ΔA'B'C' - искомый.
в) М - точка пересечения медиан треугольника АВС. Из вершин А, В и С проводим лучи, параллельные АМ. На них откладываем отрезки AA', BB' и CC', равные длине отрезка АМ. При этом точка А' совпадет с точкой М. ΔA'B'C' - искомый.
г) Так как С - центр поворота, то точка С отобразится на себя. Строим окружность с центром в точке С и радиусом ВС. Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной ВС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка В'. Строим окружность с центром в точке С и радиусом АС. Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной АС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка А'. ΔA'B'C' - искомый.
Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что ∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а ∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса получилось, что треугольник AKB - равнобедренный. Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K. Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Так как вершина А лежит на оси симметрии, она отобразится в себя (т.е. точка А' совпадет с А).
Чтобы отобразить точку В относительно оси АН, надо построить из точки В луч, перпендикулярный АН, а это и есть прямая ВС.
Затем на луче ВН откладываем отрезок НВ', равный ВН, по другую сторону от точки Н.
На луче СН по другую сторону от точки Н откладываем отрезок НС', равный СН.
ΔA'B'C' - искомый.
б) Пусть D - середина АВ.
Проводим луч CD, на котором откладываем отрезок CA' = CD.
На луче AD откладываем отрезок DA' = AD. Так как D - середина АВ, точка A' совпадет с точкой В.
На луче BD откладываем отрезок DB' = BD. Так как D - середина АВ, точка В' совпадет с точкой А.
ΔA'B'C' - искомый.
в) М - точка пересечения медиан треугольника АВС.
Из вершин А, В и С проводим лучи, параллельные АМ. На них откладываем отрезки AA', BB' и CC', равные длине отрезка АМ.
При этом точка А' совпадет с точкой М.
ΔA'B'C' - искомый.
г) Так как С - центр поворота, то точка С отобразится на себя.
Строим окружность с центром в точке С и радиусом ВС.
Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной ВС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка В'.
Строим окружность с центром в точке С и радиусом АС.
Строим угол, равный 45° с вершиной в точке С и стороной АС (против часовой стрелки). Точка пересечения окружности и второй стороны угла - точка А'.
ΔA'B'C' - искомый.
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.