Пусть дан треугольник ABC (рисунок прилагается). Проведем серединные перпендикуляры к AC и BC. Они пересекутся в точке O (они не могут быть параллельными, так как иначе AC и BC были бы параллельными, либо совпадали). Теперь опустим из O высоту OM на AB и докажем, что она является и медианой. Для треугольника BOC: OK - медиана и высота, значит BO = OC (треугольник BOC равнобедренный). Для треугольника AOC: OL - медиана и высота, значит AO = OC (треугольник AOC равнобедренный) Отсюда AO=BO. Значит OM - высота равнобедренного треугольника. Отсюда OM - медиана.
Теперь опустим из O высоту OM на AB и докажем, что она является и медианой.
Для треугольника BOC:
OK - медиана и высота, значит BO = OC (треугольник BOC равнобедренный).
Для треугольника AOC:
OL - медиана и высота, значит AO = OC (треугольник AOC равнобедренный)
Отсюда AO=BO. Значит OM - высота равнобедренного треугольника. Отсюда OM - медиана.
Объяснение:
7) Тр-к ABD - прямоугольный
ВD=AB*cos45 = 5
Тр-к BDC - прямоугольный
по т.Пифагора BC =√(BD^2 + CD^2) = √(25 + 11) = 6
8) Пусть BC - меньшее основание, AD - большее в трапеции ABCD. AC - диагональ.
BC||AD (по признаку трап.), <BCA=<CAD - накрест леж., По условию <BCA = <ACD
Следовательно <CAD= <ACD и образуют р/б тр-к ACD, отсюда CD=AD=17
Проведем высоты BH и CH1 к AD. BC=HH1=1 (прямоугольник). Т.к. трапеция р/бокая, то AH=DH1 = (AD - HH1)/2 = (17-1)/2=8
Тр-к ABH - прямоугольный. по т.Пифагора
BH = √(AB^2 - AH^2)=√(289 - 64) = 15
S = 1/2*(BC + AD)*BH = 1/2* (1+17)*15 = 135