Самостоятельная работа по теме «Окружность»
No1
Определите вид треугольника, если точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам лежит все треугольника.
1. Прямоугольный;
2. Остроугольный;
3. Тупоугольный;
4. Невозможно определить
No2
Две окружности касаются внутренним образом в точке Е. Окружность с центром в точке О1 проходит через центр второй окружности – точку О. Используя данные рисунка, найдите градусную меру угла β.
No3
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см.
No4
Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности и разбивают ее на четыре дуги. Градусные меры AD:AB:BC относятся как 3:7:6. Найдите меньший угол четырехугольника, если угол DAB равен 100°.

Рассмотрим треугольники АКС и СМА
Оба они - прямоугольные, имеют общую гипотенузу АС и равные острые углы:

∠А=∠С , т.к. треугольник АВС - равнобедренный и углы при основании АС равны.
Прямоугольные треугольники. в которых равны гипотенуза и острый угол - равны.
Из равенства этих треугольников следует, что

равны и треугольники АКМ и СКМ.

В этих треугольниках равны три стороны.
АМ=КС, АК=СМ, а КМ - общая.
Следовательно, углы КСМ=МАК
Но так как ∠А=∠С, то ∠ А - ∠МАК= ∠С- ∠КСМ.
Мы доказали равенсто углов КСА= МАС

Треугольники АОС и КОМ равнобедренные и подобны,

так как имеют равные стороны КО=ОМ, ОС=ОА, ∠ КОМ=∠АОС как вертикальные, и отсюда углы при основаниях этих треугольников равны ( 180 - ∠АОС):2.
Из подобия равнобедренных треугольников следует, что углы МКС=КСА и КМА=МАС.

Но эти углы - накрестлежащие при КМ и АС и секущих КС и МА.

Следовательно, КМ||АС, что и требовалось доказать.

0)

Дана правильная шестиугольная пирамида ABCDEFO с высотой ОН.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АНО.

АО=13, ОН=12.

АН=5, следовательно АВ=ВС=...=AF=5 (сторона прав. 6-угольника равна радиусу опис. окр.)

Sосн = (3 корня из 3) *a^2 / 2

S = 37,5 корней и з3

Vпир = 1/3 * Sосн * H

V = 150 корней из 3.

1)

Да, получается 120, т.к. объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра.

2)

Дана правильная треугольная приамида ABCD с высотой DO.

Рассмотрим треугольник АВС - равносторонний.

Проведем медиану (высоту и бис-су) АК.

ВК=КС=корень из 3.

Рассмотрим треугольник АКС - прямоугольный.

Найдем АК по т.Пифагора.

АК = 3. Следовательно АО = 2 (медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины).

Рассмотрим треугольник AOD - прямоугольный.

Угол DAO = 60, следовательно угол ADO = 30.

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

AD = 4.

DO = 2 корня из 3

Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен

r = a / корень из 3

r = 2

Vкон = 1/3 * пи *r^2 *H

V = 8корней из 3 / 3 пи