1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
1. На прямой "а" откладываем отрезок АВ, равный отрезку PQ. 2. В точке А строим угол, равный данному, со стороной, лежащей на прямой "а". 3. В точке В строим угол, равный данному, со стороной, лежащей на прямой "а". 4. В точке пересечения сторон построенных углов получаем точку С. Треугольник АВС построен.
Построение угла, равного данному: Проводим окружность с центром в точке М - вершине данного угла. Получим точки К и Н на сторонах данного нам угла. Проводим окружность этого же радиуса (МН) с центром в точке А. Получим точку К' на стороне АВ. Раствором циркуля, равным расстоянию КН из точки К' проведем дугу радиуса КН и получим точку H'. Через точки А и Н' проведем прямую - угол Н'АК' равен данному нам углу. Проводим окружность радиуса МН с центром в точке В. Получим точку К" на стороне АВ. Раствором циркуля, равным расстоянию КН из точки К" проведем дугу радиуса КН и получим точку H". Через точки B и Н" проведем прямую - угол Н"BК" равен данному нам углу.
1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
2. В точке А строим угол, равный данному, со стороной, лежащей на прямой "а".
3. В точке В строим угол, равный данному, со стороной, лежащей на прямой "а".
4. В точке пересечения сторон построенных углов получаем точку С.
Треугольник АВС построен.
Построение угла, равного данному:
Проводим окружность с центром в точке М - вершине данного угла.
Получим точки К и Н на сторонах данного нам угла.
Проводим окружность этого же радиуса (МН) с центром в точке А.
Получим точку К' на стороне АВ.
Раствором циркуля, равным расстоянию КН из точки К' проведем дугу радиуса КН и получим точку H'.
Через точки А и Н' проведем прямую - угол Н'АК' равен данному нам углу.
Проводим окружность радиуса МН с центром в точке В.
Получим точку К" на стороне АВ.
Раствором циркуля, равным расстоянию КН из точки К" проведем дугу радиуса КН и получим точку H".
Через точки B и Н" проведем прямую - угол Н"BК" равен данному нам углу.