В прямоугольной трапеции один из углов равен 60 ,а большая боковая сторона равна 8 см. Найти ВС и АД и радиус вписаной окружности Решение. См. рисунок 1. Проведем высоту СК. В прямоугольном треугольнике CKD катет КD равен половине гипотенузы, так как лежит против угла в 30° KD = 4 см. Тогда по теореме Пифагора СК²=СD² - KD²= 8²-4²=64-16=48 CK=4√3 см. По свойству четырехугольника, описанного около окужности, суммы противоположных сторон равны АВ + CD = ВC + AD Значит ВС + AD = 4√3 + 8 Но так как BC = AK и AD = АК + KD = ВС + KD, то ВС + ВС + 4 = 4 √3 + 8 ⇒ 2 ВС = 4√3 + 4 ⇒ ВС = 2√3 + 2 AD = BC + KD = 2√3 + 2 + 4 = 2 √3 + 6
Заметим, что углы EOD и EOB смежные. Значит, их сумма равна 180 градусам и EOD=180-EOB. Таким образом, для решения задачи достаточно найти угол EOB.
Треугольник AOB является равнобедренным, так как AO=OB (диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам). Угол BAO в этом треугольнике равен 50 градусам, тогда угол BOA также равен 50 градусам, а угол AOB равен 180-50-50=80 градусам. OE - медиана треугольника, так как точка E - середина AB. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также его биссектрисой, тогда угол EOB равен половине угла BOA и равен 80\2=40 градусам.
Таким образом, угол EOD равен 180-EOB=180-40=100 градусам.
Решение.
См. рисунок 1.
Проведем высоту СК.
В прямоугольном треугольнике CKD катет КD равен половине гипотенузы, так как лежит против угла в 30°
KD = 4 см.
Тогда по теореме Пифагора СК²=СD² - KD²= 8²-4²=64-16=48
CK=4√3 см.
По свойству четырехугольника, описанного около окужности, суммы противоположных сторон равны
АВ + CD = ВC + AD
Значит ВС + AD = 4√3 + 8
Но так как BC = AK и AD = АК + KD = ВС + KD,
то ВС + ВС + 4 = 4 √3 + 8 ⇒ 2 ВС = 4√3 + 4 ⇒ ВС = 2√3 + 2
AD = BC + KD = 2√3 + 2 + 4 = 2 √3 + 6
r = CK/2 = 4√3/2 = 2√3
ответ. верхнее основание 2√3 + 2, нижнее основание 2 √3 + 6, радиус вписанной окружности
2√3
Треугольник AOB является равнобедренным, так как AO=OB (диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам). Угол BAO в этом треугольнике равен 50 градусам, тогда угол BOA также равен 50 градусам, а угол AOB равен 180-50-50=80 градусам. OE - медиана треугольника, так как точка E - середина AB. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также его биссектрисой, тогда угол EOB равен половине угла BOA и равен 80\2=40 градусам.
Таким образом, угол EOD равен 180-EOB=180-40=100 градусам.