Сторона трикутника, яка лежить навпроти кута в 60 градусів, дорівнює 4. бісектриса трикутника, проведена до цієї сторони, поділяє її на два відрізки, один з яких дорівнює 1. знайдіть найменшу сторону трикутника.
Можно построить контр пример , так как этот угол из условия однозначный. Зададим сразу расстояние одной из прямых , пусть A1D1 , чтобы не вписывать множество переменных для произвольного шестиугольника , определим координаты 5 вершин произвольным образом , учитывая условно заданные расстояние и выпуклость , положим что A(0,0) , B(3,0) , C(5,sqrt(12)) , D(3,7) , E(-2,8) , F(a,b) При этом AB=3 , BC=4 , ED=5. Тогда A1(3/2,0) B1(4, sqrt(3)) C1(4, 7/2+sqrt(3)) D1(1/2, 15/2) E1((a-2)/2 , (b+8)/2) F1(a/2, b/2)
Из условия A1D1=B1E1=F1C1 , получаем (a-10)^2+(b+8-sqrt(12))^2=(a-8)^2+(b-7-sqrt(12))^2 откуда b=2a/15+(20*sqrt(3)-17)/10
Через скалярные произведение векторов найдём угол между векторами B1E1 и A1D1
cosa=(20-2a+15(b+8-sqrt(12)))/229 Подставляя найденный b и преобразовывая , получаем что cosa=1/2 или a=60 гр.
Если нельзя применить теоремы синусов и косинусов, то, скорее всего, можно применить теорему Пифагора.
Пусть высота треугольника АВС из точки А равна Н.
Опустим из основания биссектрисы перпендикуляр h на сторону ВС.
Из подобия треугольников имеем h/H = 4/20 = 1/5,
По Пифагору находим:
Н = √(20² - (5/2)²) = √(400 - (25/4) = √(375/4) = 15√7/2.
Теперь получаем: h = (1/5)*(15√7/2) = 3√7/2.
Длину биссектрисы L тоже определяем по Пифагору.
Проекция её на ВС равна (5/2) + (4/5)*(5/2) = 9/2.
L = √((9/2)² + h²) = √((81/4) + (63/4)) = √(144/4 = √36 = 6.
ответ: длина биссектрисы равна 6.
Зададим сразу расстояние одной из прямых , пусть A1D1 , чтобы не вписывать множество переменных для произвольного шестиугольника , определим координаты 5 вершин произвольным образом , учитывая условно заданные расстояние и выпуклость , положим что
A(0,0) , B(3,0) , C(5,sqrt(12)) , D(3,7) , E(-2,8) , F(a,b)
При этом AB=3 , BC=4 , ED=5.
Тогда
A1(3/2,0)
B1(4, sqrt(3))
C1(4, 7/2+sqrt(3))
D1(1/2, 15/2)
E1((a-2)/2 , (b+8)/2)
F1(a/2, b/2)
Из условия A1D1=B1E1=F1C1 , получаем
(a-10)^2+(b+8-sqrt(12))^2=(a-8)^2+(b-7-sqrt(12))^2
откуда b=2a/15+(20*sqrt(3)-17)/10
Через скалярные произведение векторов найдём угол между векторами B1E1 и A1D1
cosa=(20-2a+15(b+8-sqrt(12)))/229
Подставляя найденный b и преобразовывая , получаем что cosa=1/2 или a=60 гр.
ответ 60 градусов .