Стороны прямоугольника равны 3 см и 5 см. найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Показать ответ

Ответ:

Tema20181234

23.05.2021 20:59

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ.
Точки пресечения - это Д и Е.
Примем длину отрезка АК за 1.
Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3.
Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1.
Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию).
По теореме косинусов $ED= \sqrt{1^2+( \frac{1}{ \sqrt{3}} )^2-2*1*( \frac{1}{ \sqrt{3} } )*cos60}=$
$= \sqrt{1+ \frac{1}{3} -2*1* \frac{1}{ \sqrt{3} }* \frac{1}{2}} = \sqrt{ \frac{4- \sqrt{3} }{3} } =0.869472866.
$
Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ.
$KD= \sqrt{AK^2+AD^2} = \sqrt{1+ \frac{1}{3} } = \frac{2}{ \sqrt{3} } .$
КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов).
Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти.
Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД.
Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле:
$h _{a} = \frac{2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }{a} .$
АЕ ДЕ АД   p 2p S =
1   0.8694729    0.5773503   1.2234116   2.446823135     0.25
haе        hде      hад
0.5        0.57506   0.86603

КЕ    ДЕ   КД   p 2p S =
1.4142136 0.869473   1.154701   1.719194    3.43839   0.501492
hке    hде hкд
0.7092 1.15356   0.86861.
Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла:
cos α = 0.57506 / 1.15356 = 0.498510913.
ответ: α = 1.048916149 радиан = 60.09846842°.

0,0(0 оценок)

Ответ:

Kintavr12345

02.05.2021 05:21

Продолжим отрезок XY до пересечения со сторонами АД и ВС в точках К и М соответственно.
∠XYA+∠XCB=∠XYA+∠XYP=180°, значит ∠XYP=XCB.
∠XYD+∠ХBC=∠XYD+XYH=180°, значит ∠XYH=∠ХBC.
В тр-ках АYK и CXM ∠АYK=∠XCM и ∠AKY=∠CMX как накрест лежащие, значит эти треугольники подобны.
В тр-ках DYK и BXM ∠DYK=∠XBM и ∠DKY=∠BMX как накрест лежащие, значит они подобны.
Пусть АК=х, DK=y, тогда В треугольниках AYK и DYK отношение этих сторон: АК:DK=х:у, а сторона YK у них общая и отношение будет 1:1.
Для сторон АК и DK из тр-ках AYK и DYK в подобных для них тр-ках ВMX и СMX соответственными для них сторонами будет МХ и МХ (она общая с отношением 1:1), а для сторон YK и YK - соответственные стороны СМ и ВМ.
Чтобы привести подобие сторон АК и DK в тр-ках АYK и DYК к такому же подобию, как у общей стороны МХ в тр-ках ВMX и DМХ (1:1), нужно все стороны тр-ка AYK умножить на у, а тр-ка DYK - на х.
АК·у=ху, DK·x=ух. Hовое отношение 1:1, как у сторон МХ в тр-ках ВМX и СMX.
В тр-ке AYK YK·y=y. В тр-ке DYK YK·x=x. Новое отношение получится как у сторон ВМ и СМ в треугольниках ВМX и CMХ: ВМ:СМ=х:у.
В параллелограмме АВCD AD=BC, AD║BC. AK:DK=ВМ:СМ=х:у, значит АК=ВМ и DK=СМ, следовательно АВМК - параллелограмм, в котором АВ║МК.
XY∈МК ⇒ XY║АВ.
Доказано.
Внутри параллелограмма abcd выбрана точка x, а внутри треугольника axd точка y, причем ∠xya+∠xcb=∠xy