Свойства параллелограмма, которые мы будем использовать :
1) Противоположные стороны параллелограмма равны.
2) Противоположные углы параллелограмма равны.
Признаки параллелограмма, которые мы будем использовать :
1) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это четырёхугольник - параллелограмм.
2) Если в четырёхугольнике две стороны равны и эти же стороны параллельны, то это четырёхугольник - параллелограмм.
3) Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
— — —
№1. Дано :
Четырёхугольник AECF - параллелограмм.
ЕВ = DF.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
AF = EC (по 1-ому свойству параллелограмма), ЕВ = DF (по условию), AF = AD + DF ; EC = EB + BC⇒AD = BC.
Так как AF||EC (по определению параллелограмма), то и AD||BC (так как лежат на этих прямых), то четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 2-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№2. Дано :
Четырёхугольник AMCN - параллелограмм.
МВ = ND.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
AM = CN (по 1-ому свойству параллелограмма), АМ||CN (по определению параллелограмма), тогда и АВ||CD (так как лежат на этих прямых).
АВ = АМ + МВ, CD = CN + ND ⇒ AB = CD.
Тогда четырёхугольник АВСD - параллелограмм по 2-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№3. Дано :
Четырёхугольник MBED - параллелограмм.
∠MDA = ∠EBC.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
∠М = ∠Е (по 2-ому свойству параллелограмма), MD = BE (по 1-ому свойству параллелограмма), ∠MDA = ∠EBC (по условию) ⇒∆АMD = ∆CEB по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников ∆AMD и ∆СЕВ следует равенство их соответствующих сторон — AD = BE ; AM = EC (напротив равных в равных треугольниках лежат равные стороны). Также учитывая равенство сторон МВ = ED (по 1-ому свойству параллелограмма), получаем такое соотношение :
МВ = АМ + АВ
ED = EC + CD
Из которого следует, что CD = AB.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 1-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№4. Дано :
Четырёхугольник NBFD - параллелограмм.
∠А = ∠В.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
∠BAN = 180° - ∠A (по свойству смежных углов) и ∠FCD = 180° - ∠B, учитывая равенство ∠А и ∠В по условию, получаем, что ∠BAN = ∠FCD.
Но так как BF||ND (по определению параллелограмма), то ∠BAN = ∠АВС ; ∠FCD = ∠ADC (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых).
Учитывая равенство ∠BAN и ∠BAN и ∠АВС (по выше доказанному), то делаем вывод и о равенстве ∠АВС = ∠ADC.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 3-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№5. Дано :
Четырёхугольник КРНТ - параллелограмм.
АТ = TD = BP = PC.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
КТ = РН (по 1-ому свойству параллелограмма).
КТ = АК + АТ⇒АК = КТ - АТ
РН = СН + РС⇒СН = РН - РС
Учитывая равенство отрезков КТ и РН ; АТ и РС, мы получаем, что АК = СН.
Аналогично :
КР = НТ (по 1-ому свойству параллелограмма).
КР = ВК + ВР⇒ВК = КР - ВР
НТ = DT + HD⇒HD = HT - DT
Делаем вывод, что ВК = HD.
Рассмотрим ∆АВК и ∆CHD.
∠K = ∠H (по 2-ому свойству параллелограмма).
Тогда ∆АВК = ∆CHD по двум сторонам и углу между ними.
Из равенство треугольников следует и равенство сторон АВ = CD (в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны).
Рассмотрим ∆ВРС и ∆DTA.
∠P = ∠T (по 2-ому свойству параллелограмма), АТ = TD = BP = PC (по условию). Тогда ∆ВРС = ∆DTA по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников вытекает равенство сторон ВС = AD.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 1-ому признаку параллелограмма.
И так как BN = AM = РС = DK (по условию), то и ВМ = PD ; PN = MK.
Рассмотрим ∆АВМ и ∆CDP.
∠М = ∠Р (по 2-ому свойству параллелограмма), то и смежные с ними углы тоже равны между собой - ∠АМВ = ∠CPD (это следует из свойства смежных углов - в сумме они дают 180°).
Тогда ∆АВМ = ∆CDP по двум сторонам и углу между ними. Из равенства следует и равенство сторон АВ = CD (в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны).
Рассмотрим ∆BNC и ∆DKA.
Аналогично : ∠N = ∠K ⇒∠BNC = ∠AKD⇒∆BNC = ∆DKA по двум сторонам и углу между ними⇒AD = BC.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 1-ому признаку параллелограмма.
Свойства параллелограмма, которые мы будем использовать :
1) Противоположные стороны параллелограмма равны.
2) Противоположные углы параллелограмма равны.
Признаки параллелограмма, которые мы будем использовать :
1) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это четырёхугольник - параллелограмм.
2) Если в четырёхугольнике две стороны равны и эти же стороны параллельны, то это четырёхугольник - параллелограмм.
3) Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
— — —
№1. Дано :
Четырёхугольник AECF - параллелограмм.
ЕВ = DF.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
AF = EC (по 1-ому свойству параллелограмма), ЕВ = DF (по условию), AF = AD + DF ; EC = EB + BC⇒AD = BC.
Так как AF||EC (по определению параллелограмма), то и AD||BC (так как лежат на этих прямых), то четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 2-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№2. Дано :
Четырёхугольник AMCN - параллелограмм.
МВ = ND.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
AM = CN (по 1-ому свойству параллелограмма), АМ||CN (по определению параллелограмма), тогда и АВ||CD (так как лежат на этих прямых).
АВ = АМ + МВ, CD = CN + ND ⇒ AB = CD.
Тогда четырёхугольник АВСD - параллелограмм по 2-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№3. Дано :
Четырёхугольник MBED - параллелограмм.
∠MDA = ∠EBC.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
∠М = ∠Е (по 2-ому свойству параллелограмма), MD = BE (по 1-ому свойству параллелограмма), ∠MDA = ∠EBC (по условию) ⇒∆АMD = ∆CEB по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников ∆AMD и ∆СЕВ следует равенство их соответствующих сторон — AD = BE ; AM = EC (напротив равных в равных треугольниках лежат равные стороны). Также учитывая равенство сторон МВ = ED (по 1-ому свойству параллелограмма), получаем такое соотношение :
МВ = АМ + АВ
ED = EC + CD
Из которого следует, что CD = AB.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 1-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№4. Дано :
Четырёхугольник NBFD - параллелограмм.
∠А = ∠В.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
∠BAN = 180° - ∠A (по свойству смежных углов) и ∠FCD = 180° - ∠B, учитывая равенство ∠А и ∠В по условию, получаем, что ∠BAN = ∠FCD.
Но так как BF||ND (по определению параллелограмма), то ∠BAN = ∠АВС ; ∠FCD = ∠ADC (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых).
Учитывая равенство ∠BAN и ∠BAN и ∠АВС (по выше доказанному), то делаем вывод и о равенстве ∠АВС = ∠ADC.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 3-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№5. Дано :
Четырёхугольник КРНТ - параллелограмм.
АТ = TD = BP = PC.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
КТ = РН (по 1-ому свойству параллелограмма).
КТ = АК + АТ⇒АК = КТ - АТ
РН = СН + РС⇒СН = РН - РС
Учитывая равенство отрезков КТ и РН ; АТ и РС, мы получаем, что АК = СН.
Аналогично :
КР = НТ (по 1-ому свойству параллелограмма).
КР = ВК + ВР⇒ВК = КР - ВР
НТ = DT + HD⇒HD = HT - DT
Делаем вывод, что ВК = HD.
Рассмотрим ∆АВК и ∆CHD.
∠K = ∠H (по 2-ому свойству параллелограмма).
Тогда ∆АВК = ∆CHD по двум сторонам и углу между ними.
Из равенство треугольников следует и равенство сторон АВ = CD (в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны).
Рассмотрим ∆ВРС и ∆DTA.
∠P = ∠T (по 2-ому свойству параллелограмма), АТ = TD = BP = PC (по условию). Тогда ∆ВРС = ∆DTA по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников вытекает равенство сторон ВС = AD.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 1-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.
№6. Дано :
Четырёхугольник MNPK - параллелограмм.
BN = AM = РС = DK.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Доказательство :
MN = PK ; NP = MK (по 1-ому свойству параллелограмма).
И так как BN = AM = РС = DK (по условию), то и ВМ = PD ; PN = MK.
Рассмотрим ∆АВМ и ∆CDP.
∠М = ∠Р (по 2-ому свойству параллелограмма), то и смежные с ними углы тоже равны между собой - ∠АМВ = ∠CPD (это следует из свойства смежных углов - в сумме они дают 180°).
Тогда ∆АВМ = ∆CDP по двум сторонам и углу между ними. Из равенства следует и равенство сторон АВ = CD (в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны).
Рассмотрим ∆BNC и ∆DKA.
Аналогично : ∠N = ∠K ⇒∠BNC = ∠AKD⇒∆BNC = ∆DKA по двум сторонам и углу между ними⇒AD = BC.
Тогда четырёхугольник ABCD - параллелограмм по 1-ому признаку параллелограмма.
Что требовалось доказать.