Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
Сарыарқа — Қазақстанның ірі физикалық-географиялық және табиғи-тарихи аймағының бірі. Сарыарқа – халықтық атау. Сарыарқаға Қарағанды, Ақмола облыстарының жері толықтай, бұрынғы Торғай, Семей, Павлодар облысының біраз жері кіреді. Қарағанды облысының территориясы, негізінен, Сарыарқаның орта бөлігінде орналасқан. Сондықтан да жергілікті халық осы өңірді ежелден Сарыарқа, Арқа даласы деп атаған. Сарыарқа атауы «жер бетіндегі өсімдіктері күйгендіктен сарғайып жататын кең де үлкен жон, жалпақ үстірт, сансыз адырлы қырқа» ұғымын білдіреді.
Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.
Сарыарқа — Қазақстанның ірі физикалық-географиялық және табиғи-тарихи аймағының бірі. Сарыарқа – халықтық атау. Сарыарқаға Қарағанды, Ақмола облыстарының жері толықтай, бұрынғы Торғай, Семей, Павлодар облысының біраз жері кіреді. Қарағанды облысының территориясы, негізінен, Сарыарқаның орта бөлігінде орналасқан. Сондықтан да жергілікті халық осы өңірді ежелден Сарыарқа, Арқа даласы деп атаған. Сарыарқа атауы «жер бетіндегі өсімдіктері күйгендіктен сарғайып жататын кең де үлкен жон, жалпақ үстірт, сансыз адырлы қырқа» ұғымын білдіреді.