Точка Д лежит на отрезки АВ , причем ВД:ВА=1:4 через точку А проведена плоскости а через точку Д отрезок ДД1 паралелен а . Прямая ВД1 пересекает плоскость а в точке С А) доказать ,что ДД1 паралеленАС
Угол между плоскостями граней SBC и АВС - двугранный угол с ребром ВС, которое является линией пересечения данных плоскостей.
Чтобы построить этот угол, из А проведем перпендикуляр АН к ВС, из S- наклонную SH в ту же точку.
АН - проекция SH и перпендикулярна ВС. По т.трех перпендикулярах SH ⊥ВС
Перпендикуляр АН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС. ⇒ угол САН=50º:2=25º
В треугольниках АСН и ASH катет АН общий, а острые углы при Н равны.
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.⇒
SH=5 см – это расстояние от вершины пирамиды до ВС.
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней и площади треугольника SBC.
Т.к. по условию ВА=СА, то и наклонные, чьими проекциями они являются, тоже равны. ⇒
SB=SC, ∆ BSC- равнобедренный с высотой SH.
S АВС=АВ•ВС•sin ∠BAC:2
Синус 50º по таблице равен 0,7660
S ABC=25•0,7660:2=9,576666 = ≈ 9,577 см²²
Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти SA и SH
SA=SH•sin 25
sin25º=0,4226
SA=5•0,4226=2,113
S ∆ SAC=AC•SA:2= ≈5,28см²
S ∆ SAC+S ∆ SAB= ≈10,565 см²
S ∆ SBC=BC•SH:2
ВС найдем по т. косинусов
ВС²=25+25-50•cos50º
cos50º=≈0,64278
ВС=√17,860=4,226
S ∆ SBC=5•4,226•0,64378:2=10,565 см²
Площадь полной поверхности пирамиды SАВС= ≈ 21,113 см²²
Геометрический S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°. Отсюда MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3. По теореме косинусов для тех же треугольников: AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB); AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС); СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB). Сложим эти равенства: AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)). Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9, S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4. Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.
Тригонометрический Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)). После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.
Угол между плоскостями граней SBC и АВС - двугранный угол с ребром ВС, которое является линией пересечения данных плоскостей.
Чтобы построить этот угол, из А проведем перпендикуляр АН к ВС, из S- наклонную SH в ту же точку.
АН - проекция SH и перпендикулярна ВС. По т.трех перпендикулярах SH ⊥ВС
Перпендикуляр АН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника АВС. ⇒ угол САН=50º:2=25º
В треугольниках АСН и ASH катет АН общий, а острые углы при Н равны.
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.⇒
SH=5 см – это расстояние от вершины пирамиды до ВС.
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней и площади треугольника SBC.
Т.к. по условию ВА=СА, то и наклонные, чьими проекциями они являются, тоже равны. ⇒
SB=SC, ∆ BSC- равнобедренный с высотой SH.
S АВС=АВ•ВС•sin ∠BAC:2
Синус 50º по таблице равен 0,7660
S ABC=25•0,7660:2=9,576666 = ≈ 9,577 см²²
Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти SA и SH
SA=SH•sin 25
sin25º=0,4226
SA=5•0,4226=2,113
S ∆ SAC=AC•SA:2= ≈5,28см²
S ∆ SAC+S ∆ SAB= ≈10,565 см²
S ∆ SBC=BC•SH:2
ВС найдем по т. косинусов
ВС²=25+25-50•cos50º
cos50º=≈0,64278
ВС=√17,860=4,226
S ∆ SBC=5•4,226•0,64378:2=10,565 см²
Площадь полной поверхности пирамиды SАВС= ≈ 21,113 см²²
S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.
Отсюда MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.
По теореме косинусов для тех же треугольников:
AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);
AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);
СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).
Сложим эти равенства:
AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).
Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,
S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.
Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е.
MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.
Тригонометрический
Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит
MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)).
После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.