Точка E належить спільної сторони трикутника ABD і трикутника CBD. Відомо, що кут ABE дорівнює куту CBE; куту AEB дорівнює куту CEB. доведіть що AD дорівню

Пусть основание равно Х, тогда боковая сторона равна (Х-9).
В треугольнике, образованном высотой, проведенной к основанию, боковой стороной и половиной основания (данный нам треугольник равнобедренный) биссектриса угла при основании делит эту высоту в отношении 5:4, значит по свойству биссектрисы: "Биссектриса делит сторону, противолежащую углу в отношении сторон, образующих данный угол", имеем: (Х-9)/(Х/2)=5/4 или (9-Х)*2/Х=5/4. Тогда 8Х-72=5Х, отсюда Х=24. Итак, по Пифагору искомая высота равна
√[(Х-9)²-(X/2)²]=√(15²-12²)=9см.
ответ: высота, проведенная к основанию, равна 9см.

А -равные стороны, б-основание треугольника АВС, проведем высоту ВН к основанию, по свойствам равнобедренного треугольника она будет и высотой и медианой
Найдем радиус вписанной окружности r
 
r=b/2√(2a-b)/2a+b)=12/2√(20-12)/(20+12)=6√8/32=6√1/4=3 см 
значит ОМ ,ОК, ОН так же равны 3 см 
найдем высоту ВН
по теореме Пифагора ВН=√100-36=√64=8 см
значит ВО=8-3=5 см

найдем МВ (по свойствам вписанной окружности АН=АМ=6 см
МВ=10-6=4 см
теперь известны все стороны треугольника ОМВ
ОМ=3 см
МВ=4 см
ВО=5 см
по теореме Герона S=√p(p-a)(p-b)(p-c) где р-полупериметр
р=(3+4+5)/2=6 см
S=√6(6-3)(6-4)(6-5)=√36=6 см 2