Точка K лежить між точками P і Q. Знайдіть: 1) PQ, якщо PK= 3 дм, KQ = 7 дм; 2) PK, якщо PQ = 8 см, KQ = 6 см.

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. АВ1 - проекция диагонали DB1 призмы на боковую грань АА1В1В. Значит угол АВ1D = α.
Тогда сторона основания призмы (квадрата)
АD=DB1*Sinα=а*Sinα. Диагональ основания
ВD=а*Sinα√2.  Высота призмы ВВ1=√(а²-2а²*Sin²α) или h=а√(1-2Sin²α).
Объем призмы равен Vп=So*h, или а³Sin²α√(1-2Sin²α).
При а=4 и Sin30° объем призмы равен
Vп=64*(1/4)*√2/2=8√2.
Объем описанного цилиндра равен So*h, где So=πR².
R=BD/2=а*Sinα*(√2/2). So=πа²*Sin²α*(1/2).
Объем цилиндра равен Vц=πа³*Sin²α*(1/2)*√(1-2Sin²α).
При а=4 и Sin30° объем призмы равен
Vц=π64*(1/4)*(1/2)*(√2/2)=π*4√2.
ответ: Vп=8√2.  Vц=π*4√2.

Даны координаты точек : А (2;24), В (14;16), С (2;-16).

а) Середина АС - точка М((2+2)/2=2; (24-16)/2=4) = (2; 4).

Уравнение ВМ: (х - 14)/(2 - 14)) = (у - 16)/(4 - 16),

                           (х - 14)/(-12) = (у - 16)/(-12),

                           х - 14 = у - 16

                           х - у + 2 = 0

                          у = х + 2.

б) Высота из точки С на АВ - перпендикуляр СН.

Составляем уравнение стороны АВ:

АВ: (х - 2)/(14-2) = (у - 24)/(16-24),

(х - 2)/12 = (у - 24)/(-8), сократим знаменатели на 4:

(х - 2)/3 = (у - 24)/(-2),

-2х + 4 = 3у - 72,

2х + 3у - 76 = 0,

у = (-2/3)х + (76/3).

Угловой коэффициент высоты СН, перпендикулярной к стороне АВ равен:

к(СН) = -1/(к(АВ) = -1/(-2/3) = 3/2.

Уравнение имеет вид у = (3/2)х + в.

Для определения в подставим координаты точки С.

-16 = (3/2)*2 + в,

в = -16 - 3 = -19.

Получаем уравнение СН:  у = (3/2)х - 19.

Координаты точки пересечения высоты СН и медианы ВМ находим, приравнивая уравнения этих прямых.

(3/2)х - 19 = х + 2,

(1/2)х = 21, отсюда находим х = 21*2 = 42, у = 42 + 2 = 44.

ответ: точка пересечения СН и ВМ (42; 44).