Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.
∠A = α + β
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, значит
∠D = 180° - (α + β).
Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними:
S = AB · AD · sinA.
∠ACD = ∠ВАС = α как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС.
Из ΔADC по теореме синусов:
d : sinD = CD : sinβ = AD : sin∠ACD
Так как CD = AB, получаем:
d : sinD = АВ : sinβ = AD : sinα
sinD = sin(180° - (α + β)) = sin(α + β) - по формуле приведения.
Из равенства d : sinD = АВ : sinβ выразим АВ:
AB = d · sinβ / sinD = d · sinβ / sin(α + β)
Из равенства d : sinD = AD : sinα выразим AD:
AD = d · sinα / sinD = d · sinα / sin(α + β)
S = (d · sinβ / sin(α + β)) · (d · sinα / sin(α + β)) · sinA =
= (d² · sinα · sinβ / sin²(α + β)) · sin(α + β) =
= d² · sinα · sinβ / sin(α + β)
Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.